Схема использования статистических критериев (К) в области лесного дела при строгом доказательстве нулевой гипотезы

К₀₅ > К_ф > К₀₁

Не отвергается Отвергается,

Нулевая гипотеза

где К_ф - значение фактически полученного критерия;

К₀₅, К₀₁ - значения критериев на 5% - ном и 1% - ном уровнях значимости.

 

4.1. Статистическое сравнение эмпирического распределения с теоретическим по критерию χ- квадрат Пирсона

Критерий χ- квадрат (χ ²) впервые был предложен К. Пирсоном в 1901 году. Пользуясь этим критерием можно произвести оценку различий между эмпирическим и теоретическим распределением частот. Он рассчитывается по формуле:

,

где n_i – эмпирическая частота; n_i'- теоретическая частота.

Оценка значимости критерия χ ² производится по специальной таблице (приложение 3 учебника Герасимов, Хлюстов), в которой приведены стандартные значения этого критерия (χ ²_st) для трех пороговых уровней доверительной вероятности и для разных чисел степеней свободы.

Число степеней свободы равно числу классов без трех k=n-3.

Если χ ²_ф< χ ²_st, то расхождение между эмпирическим и теоретическим распределением подчиняется тому закону, по которому рассчитаны теоретические частоты.

В таблице 4.1 приводится порядок расчета критерия согласия χ ² - Пирсона.

Таблица 4.1 Оценка различий между эмпирическим и теоретическим распределением деревьев сосны по диаметру на высоте груди

 

Классы (ступени толщины),см	Частоты	ni- ni/	(ni – ni /)2
Эмпирические (ni), штук	Теоретические (ni/), штук
		13,35	-5,35	28.2	2,4
		32,67	9,33	87,5	2,6
		62,25	15,75	248,0	3,8
		91,89	5,11	26,11	0,8
		106,76	-6,76	95,26	0,9
		97,04	-14,04	197,12	2,3
		69,38	-6,38	40,70	0,9
		38,46	3,54	12,53	0,3
		16,94	6,06	36,72	2,7
		5,71	3,29	10,82	1,0
Cумма				χ 2ф = 16,70

 

Теоретические частоты берутся неокругленными из таблицы 3.1.

χ ²_ф = 16,97 χ ²_05/01 – теоретическое значение критерия на 5 и 1 % уровне значимости, берётся из приложения учебника, исходя из числа степеней свободыпри k = n – 3

χ ²_05/01 =14.10/18.50, при k = 10-3=7 χ ²_ф> χ ²₀₅

 

Следовательно Н₀- гипотеза отвергается, различия между эмпирическим и теоретическим распределением частот существенны только на 5 % уровне значимости т.к χ ²_ф больше χ ²_05, но меньше χ ²₀₁

Статистическое заключение

Т.к χ ²_ф > χ ²₀₅, то можно сделать вывод, что опытное распределение деревьев сосны по диаметру на высоте груди не подчиняется закону предполагаемого теоретического распределения.

 

4.2. Статистическое сравнение эмпирического распределения с теоретическим по критерию λ Колмогорова – Смирнова

При помощи критерия - Колмогорова-Смирнова сопоставляют эмпирические и теоретические частоты рядов распределения, а также дать оценку различий двух эмпирических распределений.

Для сопоставления эмпирического и теоретического распределения частот λ-критерий рассчитывается по формуле:

,

где N -объём эмпирического ряда распределения

, тогда

Пример статистической оценки эмпирических и теоретических рядов распределения приведен в таблице 4.2.

 

Таблица 4.2 Статистическая оценка эмпирических и теоретических рядов

распределения по критерию λ - Колмогорова-Смирнова

 

Классы (ступени толщины), см	Эмпирическая частота ni, шт	Теоретическая частота ni/, шт					d
					0,015	0,015
					0,077	0,077
					0,144	0,144
					0,179	0,179
					0,179	0,179
					0,153	0,153
					0,116	0,116
					0,077	0,077
					0,042	0,042
					0,017	0,017

 

.

Для оценки статистической гипотезы расчетное значение - Колмогорова-Смирнова сравнивается с табличным на 1% или 5%-ном уровне значимости:

_05/01=1,36/1,63.

Так как λ_ф<λ₀₅, то Н₀-гипотеза не отвергается, различия между эмпирическим и теоретическим распределениям частот не существенны.

Статистическое заключение

В результате сравнения эмпирического и теоретического рядов распределения можно сделать заключение, что существенных различий между ними нет, так как фактическое значение - критерия меньше на 5%-ном уровне значимости.

 

4.3. Статистическое сравнение двух эмпирических рядов распределения по критерию λ Колмогорова – Смирнова

Если два эмпирических распределения имеют различное количество классов и объём совокупности, то согласие между ними устанавливается по критерию , рассчитанному по формуле:

, где

, тогда

,

где n₁ и n₂ - частоты первого и второго сравниваемых рядов;

N₁ и N₂ - объёмы первого и второго рядов.

Сравнение частот взвешенных рядов по критерию Колмогорова приведено в таблице 4.3.

Таблица 4.3 Сравнение частот двух взвешенных рядов распределения по критерию λ - Колмогорова-Смирнова

Диаметр деревьев	Эмпирическая частота					d
n1,штук	n2, штук
					0,015	0,002	0,013
					0,077	0,019	(0,058)max
					0,144	0,094	0,050
					0,179	0,183	0,004
					0,179	0,223	0,044
					0,153	0,200	0,047
					0,116	0,145	0,029
					0,077	0,086	0,009
					0,042	0,039	0,003
					0,017	0,009	0,008

.

_ф сравнивается с критерием на 1% и 5%-ном уровне значимости

_05/01=1,36/1,63

λ_ф< λ₀₅, следовательно, Н₀-гипотеза не отвергается, различия между сравниваемыми рядами распределения не существенны.

Статистическое заключение

В результате сравнения двух эмпирических рядов распределения деревьев сосны по диаметру можно сделать заключение, что получены не существенные различия между ними, так как фактическое значение критерия меньше критерия на 5% уровне значимости.