Расчет теоретических частот для кривой нормального распределения

Этот тип непрерывного распределения, открытого в 1733 г. Муавром, имеет плотность распределения:

где x - среднее значение;

σ - стандартное отклонение;

е – основание натурального логарифма равное 2,72.

Закон нормального распределения утверждает, что вероятность отклонения любой варианты (x_i) от центра распределения определяется функцией нормированного отклонения (t). Графически эта функция выражается в виде кривой вероятности, называемой нормальной кривой.

Положение этой кривой определяется двумя параметрами: средней величиной и стандартным отклонением (σ)

В зависимости от величины (σ) форма нормальной кривой может быть и пологой и более или менее крутой.

Нормальному распределению присущи следующие признаки:

1. симметричная колоколообразная двускатная кривая распределения частот

2. соотношение средней арифметической и стандартного отклонения равно или С_v = 33 %.

Для проверки предположения о законе распределения необходимо произвести расчет теоретических частот по предполагаемому закону распределения. Вычисление теоретических частот – это выравнивание эмпирического ряда распределения.

Пример расчета теоретических частот для кривой нормального распределения приведен в таблице 3.1.

Таблица 3.1 Вычисление теоретических частот по уравнению Лапласа – Гаусса

Классы, хi, см	Эмпирическая частота, ni, шт.	Отклонение,	Нормированное отклонение,	Плотность вероятности нормального распределения F(t)	Теоретическая частота, n/i, шт.
фактическая	округленная
		16,45	2,04	0,0498	13,35
		12,45	1,54	0,1219	32,67
		8,45	1,04	0,2323	62,25
		4,45	0,55	0,3429	91,89
		0,45	0,05	0,3984	106,76
		3,55	0,44	0,3621	97,04
		7,55	0,93	0,2589	69,38
		11,55	1,43	0,1435	38,46
		15,55	1,92	0,0632	16,94
		19,55	2,42	0,0213	5,71
Сумма

- в первый столбец вписаны классовые варианты – x_i,см;

- во втором столбце – эмпирическая частота n_i,шт.;

- в третьем столбце центральное отклонение ^, см;

- в четвертом столбце – нормированное отклонение, показывающее,

насколько «σ» отдельные члены данной совокупности отклоняются от среднего уровня учитываемого признака. Нормированное отклонение рассчитывается по формуле:

,

где x_i – групповая варианта; – средняя величина; σ – стандартное отклонение;

- в пятом столбце – значение функции для нормированного отклонения – f(t);

- в шестом столбце – теоретически рассчитанная частота – n^,, штук, по формуле:

где: где n – объем выборки; С – классовый интервал; σ – стандартное отклонение; f (t) – плотность вероятности нормального распределения (ордината кривой нормального распределения).

 

Например:

.

Приведите графическое изображение распределения эмпирических и теоретических частот.