Лекции.Орг


Поиск:




Методы получения оценок: метод моментов и метод наибольшего правдоподобия, функция правдоподобия( дискретный и непрерывный случаи), примеры




Метод моментов

Пусть x , x x – независимая выборка из распределения с плотностью p(x; θ ,…, θ ), зависящей от параметров θ ,…, θ .

Определение: Интеграл вида

m ,…, θ )= называется теоретическим моментом порядка k, а статистика называется выборочным моментом порядка k.

Предположим, что при k=1,2….r, все теоретические моменты m ,…, θ ) конечны и что система уравнений m ,…, θ ), k=1,2,…,r однозначна разрешима, причем решение m (b ,…, b ), k=1,2,…r дается непрерывными обратными функциями m . При этих условиях имеет место

Теорема о методе моментов. Оценки , получаемые как решения системы уравнений m (b ,…, b ), k=1,2,…r состоятельны.

Пример 1. Найти методом моментов по выборке x , x x точечную оценку неизвестного параметра λ показательного распределения с плотностью p(x)= λe (x >0).

Решение. Здесь неизвестный параметр один, поэтому вычисляем теоретический и выборочный моменты: m = = ,

Искомая оценка имеет вид .

Метод наибольшего правдоподобия

Случай непрерывных распределений

Пусть x , x x – независимая выборка из непрерывного распределения с плотностью p(x; θ).

Определение 1: Функция вида L(x , x x ; θ)=p(x ; θ)…p(x ; θ) называется функцией правдоподобия.

Определение 2: Оценкой наибольшего правдоподобия параметра θ называют число , которое находится из условия L(x , x x ; )=max L(x , x x ; θ)

При выполнении некоторых условий, смысл которых состоит в том, что p(x; θ) – достаточно гладкая функция, а интеграл =1 достаточно быстро сходится, оценка максимального правдоподобия обладает следующими свойствами:

1. она состоятельна

2. она асимптотически нормальна, т.е при больших n можно рпиближенно считать, распределение приближенно нормельным.

3. она асимптотически эффективна, т.е при больших n оценку можно считать близкой к эффективной.

Недостатком метода является то, что иногда оценки получаются смещенными.

Случай дискретного распределения

Определение 1: Пусть P()=P , где – число из выборки, а – та случайная величина, которая приняла значение . Функция вида L(x , x x ; θ)=P(x ; θ)…P(x ; θ) называется функцией правдоподобия в дискретном случае.

Оценкой наибольшего правдоподобия параметра θ называют число , которое находится из условия L(x , x x ; )=max L(x , x x ; θ).

Пример: Методом наибольшего правдоподобия найти оценку параметра λ распределения Пуассона P = , λ>0, – целые неотрицательные числа.

Решение. Составляем функцию правдоподобия L(x , x x ; λ)=

И находим, что ее максимум достигается в точке = .


 

 

№22. Доверительные интервалы, доверительная вероятность. Построение доверительных интервалов для математического ожидания нормального распределения (с известной и неизвестной дисперсией).

Пусть x 1, x 2, , x n — выборка из некоторого распределения с плотностью распределения p (x; θ), зависящей от параметра θ. Задача состоит в том, чтобы построить для θ доверительный интервал.

Опр: Интервал называется доверительным, если с вероятностью (1- α) неизвестный параметр θ попадает в этот интервал. Тогда (1- α) — доверительная вероятность.





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-09-06; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1314 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Если вы думаете, что на что-то способны, вы правы; если думаете, что у вас ничего не получится - вы тоже правы. © Генри Форд
==> читать все изречения...

759 - | 770 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.008 с.