Основные теоремы о вероятностях

Опр. Пусть Р(В)>0. Условной вер-ью события А при условии, что соб. В произошло, наз-ся отношение, обознач-ое Р(А \ В)=Р(АВ)/Р(В). Р(АВ) = Р(А \ В)•Р(В) – простейш. вариант теоремы умножения вер-тей (верн. и для Р(В) = 0).

Теор. (умножения вер-ей) При n ³ 2 верно следующее: Р(А ₁ А ₂… А _n) = Р(А ₁)•Р(А ₂\ А ₁)•Р(А ₃\ А ₁ А ₂) •…•Р(А _n\ А ₁ А ₂… А _n-1). Док по индукции: теор. верна для n = 2 и 3, пусть верна и для n = N ³ 3. Докажем, что теор. будет верна для n = N +1. По опред. Р(А ₁ А ₂… А _n А _n+1) = Р(А ₁ А ₂… А _n)•Р(А _n+1\ А ₁ А ₂… А _n)= Р(А₁)•Р(А₂\А₁)… Р(А _n\ А ₁ А ₂… А _n-1)•Р(А _n+1\ А ₁ А ₂… А _n)_■

Теор. (сложения вер-ей) Для произвольных соб. А и В верно Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). Док: Заметим, что верны след. рав-ва: А + В = А + (В \ АВ) [или Û U(+)], А •(В \ АВ) = Ø [или Û ∩(•)]. В силу аксиомы аддитивности вер-ти [ Р(А + В) = Р(А)+Р(В), если АВ = Ø ] верно Р(А + В) = Р(А + (В \ АВ)) = Р(А) + Р(В \ АВ). Т.к.Р(В \ АВ) = Р(В) – Р(АВ), то Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) _■

 

 

 

Формулы полной вероятности и Байеса, примеры. Понятие распределения вероятностей.

Т. Формула полной вероятности

Пусть событие А₁, А₂…Аn попарно несовместны и А₁, А₂…Аn = Ω

AiAj = Ǿ, если i ≠j

Тогда для любого события В, которое происходит с одним и только одним событием

Ai из { А₁, А₂…Аn } верна формула P(B) = _к=1∑ⁿР(Аk)* Р(В/Аk) (суммируем по к = ₁..n)

Д-во:

По условию событие В=A*Ω = В(А₁+А₂…+Аn) =_к=1∑ⁿ P(ВАk)

BAi*Baj = Ǿ, i ≠j

P(B)= _к=1∑ⁿ P(ВАk)= _к=1∑ⁿ P(Ak)* P(В/Аk), по

простейшему варианту теоремы умножения (P(AB)=P(A)*P(B/A))

Пример.

В урне М белых шаров и (N-M) — черных по схеме выбора без возвращения последовательно извлекаются 2 шара,

Найти вероятность того, что 2-й шар будет белым:

Решение:

Опред. события А₁, А₂, В

А₁ ={1-й шар — белый}

А₂ ={1-й шар — черный}

В={2-й шар — белый}

Тогда по формуле полной вероятности:

P(B) = P(A₁)*P(B/A₁)+P(A₂)*P(B/A₂)=^M/_N * ^M-1/_N-1 + ^N-M/_N * ^M/_N-1 = ^M/_N

Формула Байеса.

Пусть события А₁, А₂…Аn попарно несовместны,

А₁ + А₂…+Аn=Ω, Р(В)>0

Тогда:

P(Ak│B)=(P(Ak)P(B│Ak))/P(B)=(P(Ak)P(B│Ak))/( _к=1∑ⁿ P(Ak) P(B│Ak)), (k=1,…n)

Д-во:

По теореме умножения вероятностей:

P(B Ak) = P(B) P(Ak│B) = P(Ak) P(B│Ak).

Поэтому P(Ak│B)= (P(Ak) P(B│Ak))/P(B).

Но по формуле полной вероятности:

P(B)= _к=1∑ⁿ P(Ak) P(B│Ak).

Формулу Байеса можно интерпретировать следующим образом. Назовем события Аk гипотезами. Пусть событие В — результат некоторого эксперимента. Вероятности Р(Аk)— это априорные вероятности гипотез, вычисляемые до постановки опыта, а условные вероятности P(Ak│В) — это апостериорные вероятности гипотез, вычисляемые после того, как стал известен результат опыта В.

Пример.

Имеем 2 урны по N шаров в каждой. В 1-й — M₁ белых шаров, а во второй М₂ — белых шаров. Эксперимент состоит: сначала, с вероятностью ½ выбирается 1-я или 2-я урна, а затем из неё случайно извлекается (с возвращением) n шаров. Пусть событие В состоит в том, что вынутые шары — белые

Имеем 2 гипотезы:

1) А₁={выбрана 1-я урна}

2) А₂={выбрана 2-я урна}

По условию априорного распределения вероятностей:

P(A₁)=P(A₂)= 1/2

Далее, легко находим вероятности Р(В│Аk) = (Mk/N)ⁿ/

Формула Байеса дает апостериорные вероятности:

Р(Аk│В) = (1/2 (M_k/N)ⁿ)/(1/2 (M₁/N)ⁿ + ½ (M₂/N)ⁿ)=M_kⁿ/(M₁ⁿ+ M₂ⁿ), k=1,2.

Если М₁<M₂, то при n→¥ P(A₂│B)=1/(1+(M₁/M₂)ⁿ)→1, т.к. М₁/M₂<1

 

Понятие независимых событий. Схема независимых испытаний Бернулли, формула Бернулли, доказательство её корректности, примеры.

Опр. События А и В называются независимыми, если Р(АВ) = Р(А) Р(В). Если Р(АВ) ≠ Р(А) Р(В), события А и В называются зависимыми.

Если Р(В)=0, то событие В является независимым по отношению к любому событию А.

Пример.

Из колоды в 52 карты (13 карт каждой масти) случайно вынимается карта. Рассмотрим события А= вынут туз, В= вынута карта бубновой масти. Тогда событие АВ означает, что вынут бубновый туз.

Т.к. справедливо равенство Р(АВ)= Р(А)Р(В), события А и В независимы.

Опр. События А₁, А₂…Аn независимы в совокупности, если для любого набора 1≤i₁<i₂<…<i_m, 2≤m≤n справедливо равенство

Р(Ai₁,Аi₂…Аi_m)=P(Ai₁) P(Ai₂)…P(Ai_m).

Схема Бернулли.

Повторные независимые испытания называются испытаниями Бернулли, если каждое испытание имеет только 2 возможных исхода, и вероятности исходов остаются неизменными для всех испытаний. Пусть один исход испытания называется успех (У), а другой — неудача (Н), вероятность успеха равна p, а вероятность неудачи равна q, q=1-p. Пусть испытание проводится n раз. Тогда вероятностное пространство имеет вид

Ω={ω=(x₁,…x_n), x_k=У,Н, k=1,…n}.

Независимость испытаний означает, что Р(x₁,…x_n)=Р(x₁)…Р(x_n), где Р(x_k)=p, если x_k=У, Р(x_k)=q, если x_k=Н.

Часто нас интересует не порядок появления успехов вn независимых испытаниях Бернулли, а их общее число. Число успехов может быть равно 0,1,2,…n и задача состоит в том, чтобы найти вероятность события, состоящего в том, что в серии из nнезависимых испытаний Бернулли произошло k успехов.

Пусть Sn — число успехов из серии независимых испытаний Бернулли.

Т. При любом k = 0,1,…n справедливо равенство

P(Sn=k)=C_n^kp^kq^n-k

Д-во:

В вероятностное пространство входят элементарные события вида:

ω=(Н…НУН…НУН…НУН…Н).

Сколько таких элементарных событий? Столько, сколькими способами можно выбрать из n номеров k номеров (без учета порядков), т.е. C_n^k. Вероятность каждого такого события равна p^kq^n-k, т.к. испытания — независимы.

Замечание: В самом деле, справедливо равенство: _k=0∑ⁿ C_n^k p^k q^n-k =(p+q)ⁿ=1

Случайные величины: определение, функция распределения случайной величины и её свойства, независимые случайные величины, определение основных числовых характеристик случайной величины (дискретный и непрерывный случаи), примеры.

Введем центральное в теории вероятности понятие случайной величины.

 

Опр. Пусть (Ω, А, Р) — вероятностное пространство. Случайной величиной X называется числовая функция, определенная на Ω и такая, что определена вероятность F(x)=P{X<x}=P{ω│P(ω)<x}. F(x) называется функцией распределения случайной величины X.

Замечание:

Если вероятностное пространство Ω конечно, то любая числовая функция, заданная на Ω, является случайной величиной.

Свойства функции распределения:

1. При x₁<x₂ P{x₁≤X<x₂}=F(x₂)-F(x₁)

2. F(x)#(не обязательно строго).

3. lim_x→-∞F(x)=0, lim_x→∞F(x)=1

4. F(x) непрерывна слева(т.е. lim_{x→x0 - 0}F(x)=F(x₀)).

Свойство 1 простое следствие из аксиом вероятностного пространства. Свойство 2 сразу следует из 1. Свойство 3 следует из аксиомы счетной аддитивности.

 

Опр. Случайные величины X и Y называются независимыми, если P{X<x, Y<y}= P{X<x}P{Y<y} (другими словами, события {X<x} и {Y<y} независимы)

 

Пространство элементарных событий дискретно, когда оно либо конечно, либо счетно.

Закон распределения дискретной случайной величины задается в виде таблицы ряда распределений

Пример:

Рассмотрим схему n независимых испытаний Бернулли. Определим случайные величины

 

Xi =1, если в i-м испытании успех, 0, если неудача.

Пусть Sn = X₁+X₂+…+Xn. Тогда случайная величина Sn — число успехов в серии n независимых испытаний Бернулли.

 

Опр. Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется сумма

MX=∑x_i P{X=x_i}, где суммирование ведется по всем значениям xi случайной величины X.

Опр. Дисперсия (рассеяние) случайной величины X — DX=M(X-MX)², где X-MX отклонение случайной величины от мат. ожидания.

Опр. Cov(X,Y)=M((X-MX)(M-MY)) — ковариация случайных величин X и Y, заданных на одном и том же пространстве элементарных событий.

Опр. Пусть на одном и том же вероятностном пространстве заданы случайные величины X и Y. Коэффициентом корреляции X и Y называется число ρ (X,Y)=(Cov(X, Y))/√D X D Y