Задача: пусть в схеме Гаусса-Маркова 
вектор случайных остатков с числовыми характеристиками 
, 
, имеет нормальный закон распределения. Требуется оценить параметры 
и 
модели методом максимального правдоподобия.
Решение: Будем предполагать, что объясняющие переменные в модели
детерминированные, матрицу 
полагаем известной. Из и сделанного предположения о числовых характеристиках и законе распределения вектора 
следует, что вектор 
тоже обладает нормальным законом распределения 
с числовыми характеристиками 
и 
.
Для отыскания оценок параметров ММП действуем согласно следующему алгоритму:
1) составим функцию правдоподобия выборки 
(
и вычисляем ее логарифм:
2) Найдем производные логарифма по аргументам и приравняем их к нулю:
3) Решаем полученную систему уравнений. Сначала из первого уравнения (после умножения его на 
) находим 
:
Затем подставляем его во второе уравнение системы и после умножения этого уравнения на 
находим 
= 
, где 
. Полученные величины образуют решение системы и являются искомыми ММП-оценками параметров (эффективными и ассимптотически несмещенными).
Спецификация и оценивание нелинейных по коэффициентам моделей множественной регрессии со специальными функциями регрессии (на примере производственной модели с функцией Кобба-Дугласа).
Примером нелинейной по коэффициентам функции регрессии служит производственная функция Кобба-Дугласа:
(1)
В ней Y – уровень выпуска продукции за принятый отрезок времени; K и L – уровни соответственно основного капитала и живого труда, использованные в процессе выпуска величины Y. Подчеркнём, что функция не линейна по коэффициентам 
. Это значит, что оценить параметры эконометрической модели с такой функцией регрессии строго нельзя ни одним из обсуждённых методов. Заметим, однако, что преобразование логарифмирования позволяет трансформировать функцию К-Д к линейной по коэффициентам:
(2)
Функция регрессии в уравнении (1) называется стандартной, поскольку операция логарифмирования трансформировала её к линейной по коэффициентам.
С учётом свойств операции логарифмирования составим следующим образом спецификацию модели товаров и услуг в стране:
(3)
(случайные возмущения включили в виде подходящего сомножителя)
После операции логарифмирования с учётом отмеченных в (2) обозначений, мы получили трансформацию модели (3) в виде базовой модели эконометрики:
После оценивания линеаризованной модели можно вернуться при помощи операции возведения в степень к оценке исходной модели (3), где
Оптимальное точечное прогнозирование значений эндогенной переменной по линейной модели (случай гомоскедастичного и неавтокоррелированного случайного остатка) на примере модели Оукена.
Рассмотрим построение оптимального (наиболее точного) прогноза искомого значения y0 эндогенной переменной линейной модели множ. регрессии на примере модели Оукена:
, где
y – темп прироста реального ВВП, x0=Ut-Ut-1 – изменение уровня безработицы.
0 – значение экзогенной переменной, при которой должен быть вычислен прогноз величины y0.
Прогноз величины y0 обозначим символом 
.
Мы предполагаем, что искомая величина и известные значения экзогенной переменной связаны м-ду собой уравнением линейной модели:
Прогноз будем строить так, чтобы оказались справедливыми следующие 2 требования к ошибкам прогноза:
– ожидаемая ошибка прогноза равна 0 (несмещённость прогноза)
– квадрат среднеквадратической ошибки прогноза минимален –кучность рассеивания минммальна(разброс минимален)
Справедлива следующая теорема – теорема об оптимальном прогнозе: Пусть справедливы все предпосылки теоремы Гаусса-Маркова для обучающей выборки 
. Тогда:
А) оптимальный прогноз величины y0 вычисляется по формуле:
(1)
Чтобы вычислить оптимальный прогноз, нужно оценить коэффициенты модели МНК и подставить в уравнение регрессии известное значение эндогенной переменной.
Б) Точность прогноза вычисляется по правилу:
, где
, 
–квадратичная форма заданных значения экзогенной переменной, в случае модели Оукена 
Неотрицательная константа q0 отражает влияние на точность прогноза ошибок оценок коэффициентов модели-точность прогноза падает по мере удаления значения x0 регрессора x от его выборочного среднего.
Среднеквадратичная ошибка прогноза (1) отыскивается по формуле: 
= 
36. Тест Голдфелда-Квандта гомоскедастичности случайного остатка в ЛММР
Обратимся к предпосылке теоремы Гаусса-Маркова №2: Дисперсия случайного остатка не зависит от значений объясняющих переменных: 
Обсудим тестирование этой предпосылки, записав её в виде следующей статистической гипотезы:
(*)
В основании процедуры проверки этой гипотезы лежит следствие из теоремы Гаусса-Маркова: при оценивании коэффициентов модели по двум группам уравнений наблюдений (в первую группу входят, например, n1 первых уравнений, во вторую – n2 последних уравнений наблюдений) следующая дробь:
Эта дробь обладает законом распределения Фишера с количеством степеней свободы m1 =n1-(k+1) и m2= n2-(k+1).
Гипотеза Н0 может быть принята, если GQ не превосходит 2%-ой точки распределения Фишера.
Замечание: Гипотеза Н0 о гомоскедастичности остатка означает, что при любых перестановках наблюдений дисперсии случайных остатков остаются одинаковыми.
Обычное нарушение на практике возникает тогда, когда дисперсия случайного остатка возрастает (или убывает) с ростом абсолютных значений объясняющих переменных.
Тест Голдфелда-Квандта реализуется в итоге следующих шагов:
Шаг 1. Упорядочить уравнения наблюдений по возрастанию суммы модулей значений предопределенных переменных модели, т.е. по возрастанию значений 
.
Замечание: В этот пункт процедуры Г-К заложена естественная предпосылка, что возможная гетероскедастичность случайного остатка в модели, т. е. зависимость его условной дисперсии 
от объясняющих переменных модели имеет специальный вид:
, (1)
причём ф-ия f(z) является либо возрастающей, либо убывающей. Подчеркнём, что если случайный остаток гомоскедастичен, то любая зависимость от 
, в частности зависимость (1) отсутствует.
Шаг 2. По первым n’ упорядоченным уравнениям наблюдений объекта (где n’ удовлетворяет условиям k+1<n’, n’≈0,3n, k+1 – кол-во оцениваемых коэффициентов ф-ии регрессии) вычислить МНК-оценки параметров модели и величину 
, где 
– МНК-оценка случайного возмущения ui.
Шаг 3. По первым n’ упорядоченным уравнениям наблюдений объекта вычислить МНК-оценки параметров модели и величину 
Шаг 4. Вычислить статистику
Шаг 5. Задаться уровнем значимости α и с помощью ф-ии FРАСПОБР при количествах степенней свободы 𝑣1, 𝑣2, где 𝑣1= 𝑣2=n’-(k+1), определить (1-α)-квантиль Fкрит=F1-α распределения Фишера.
Шаг 6. Принять гипотезу, если справедливы неравенства
, т. е. при этих справедливых неравенствах случайный остаток в модели полагать гомоскедастичным. В противном случае, гипотезу (*) отклонить как противоречащую реальным данным и делать вывод о гетероскедастичности случайного остатка в модели.
Тест корректен, когда остатки распределены по нормальному закону и выполнены другие предпосылки теоремы Г-М.
Обоснование: из-за утверждения выше 
– случайные переменные и распределены по закону хи-квадрат с количеством степеней свободы n’-(k+1), кроме того они независимы. А значит, 
- случайные переменные и распределены по Фишеру с количеством степеней свободы 𝑣1, 𝑣2. Следовательно критерием нулевой гипотезы может служить множество: 
. А если величина 
попадает в это множество, то гипотезу следует отклонить в пользу альтернативной гипотезы 
, представляющей отрицание гипотезы (*), т. е. означающей гомоскедастичность случайного остатка в модели.
