Оценка характеристик стационарного временного ряда

Ряд именуется стационарным, если его ожидаемое значение и дисперсия постоянны (не зависят от переменной времени t), а автоковариационная и автокорреляционная функции являются четными функциями одного аргумента :

1)

2)

3)

4)

Ряд именуется нестационарным, если хотя бы одно условие 1-4 не выполняется.

основные характеристики временного ряда:

1) Математической ожидание ряда

2) Дисперсия временного ряда

3) Автоковариационная функция ряда

– функция двух аргументов при перестановке которых значения функций не меняются.

4) Автокорреляционная функция ряда

Оценки этих характеристик могут быть найдены по одной реализации этого ряда

1) Оценка математического ожидания:

2) Оценка дисперсии:

3) Оценка автоковариационной функции:

4) Оценка автокорреляционной функции:

 

50. Частная автокорреляционная функция стационарного временного ряда и алгоритм её оценивания.

Рассмотрим уровни ряда u_t на отрезке [t;t+ τ] (u_t, u_t+1, …, u_{t+ τ -1,} u_{t+ τ})

Удалим(при помощи уравнения регрессии) влияние членов u_t, …, u_{t+ τ-1} из уровней u_t и u_{t+ τ}. После этого рассмотрим ковариацию остатков u_t и u_{t+ τ}. Это и будет частная автокорреляционная функция в точке τ.

Ϭ_uu^(p)(τ)= (2.10)

На основании 2.10 дается определение частной автокорреляционной функции стационарного ряда

ρ_uu^(p)(τ)=

Частная автокорреляционная функция белого шума имеет уравнение

ρ_ξξ^(p)(τ)= ρ_ξξ(τ)=

Можно обосновать следующий алгоритм оценивания частной автокорреляционной функции ряда по его реализации:

Оценить МНК параметры модели

1.

2. Принять

оценкой ρ_uu^(p)(τ) оценку β_τ.

 

51. Модель AR(p) и её идентификация.

Авторегрессия первого порядка:

, ,имеет смысл коэффициента корреляции уровней ряда в соседние моменты времени.

Автокорреляционная функция имеет уровни ρ_uu(i,j)=ρ^|i-j|=ρ^τ и экспоненциально убывает с ростом лага τ

При ρ=0 ряд превращается в WN. Если ρ=1, то ряд становится нестационарным рядом, называющимся случайным блужданием.

Теорема позволяющая идентифицировать временной ряд AR(1):

Если u_tϵAR(1), то его частная автокорреляционная функция тождественно равна 0, при τ>1

ρ_uu^(p)(τ)=

Модель авторегрессии порядка р задается поведенческим уравнением:

u_t=β₁u_t-1+ β₂u_t-2+…+ β_pu_t-p+ξ_t

Для модели AR(p) частная автокорреляционная функция авна 0 при .

52. Модель MA(q) и её идентификация.

Модель первого порядка:

Теорема. Если u_tϵMA(1) то

1) Ряд порожденный этой моделью является стационарным

2) E(u_t)=0, Ϭ_u²=Ϭ_ξ²(1+γ²)

3) Автокорреляционная функция ряда MA(1) имеет уравнение:

ρ_uu(τ)=

Рекурсивное уравнение модели:

u_t=γ₁ξ_t-1+ γ ₂ξ_t-2+…+ γ _pξ_t-p+ξ_t

Теорема. Если u_tϵMA(q) то ρ_uu(τ)=0 при τ>q.

 

53. Оптимальный линейный алгоритм прогнозирования уровней стационарного временного ряда.

Пусть уровни ряда u_t STS наблюдались в моменты времени t=1,2,…,n. Результаты этих наблюдений обозначим символами u₁, u₂,…,u_n. Расположим эти результаты в обратном порядке и будем интерпретировать такой набор как случайный вектор , т.е.

^T=(u_n,..,u₂,u₁) (1).

Задача прогнозирования заключается в построении правила прогноза будущего уровня _n+τ наблюдаемого ряда по его известным уровням (1), следовательно _n+τ есть значение некоторой функции f наблюдаемых уровней (1):

_n+τ =f (u₁, u₂,…,u_n). (2)

Прогноз будет являться оптимальным, если он удовлетворяет требованиям, предъявляемым к статистическим процедурам:
(3)

Прогнозный алгоритм оптимальный в множестве всех функций аргумента- это условное математическое ожидание:

u₁, u₂,…,u_n). (4)

Пусть временной ряд u_t STS является гауссовским, т.е. его уровни образуют нормально распределенный случайный вектор

^T =(u₁, u₂,…,u_n,…,u_t+τ,…,u_N). (5)

Вектор наблюдений (1) роль объясняющего вектора , поэтому

(6)

Здесь Будущий уровень ряда _n+τ интерпретируем как вектор . Так что .

Ковариационная матрица . Находим матрицу = ^T.

Тогда оптимальный алгоритм прогнозирования уровней гауссовского стационарного временного ряда принимает вид

u₁, u₂,…,u_n)= ^T (7)

Алгоритм (7) является линейным. Действительно, проведя перегруппировку членов в правой части равенства (7), увидим, что

a₀+a₁u_n+a₂u_n-1+…+a_nu₁.

 

54. Модели нестационарных временных рядов. Идентификация модели тренда.

a) Аддитивная модель временного ряда имеет следующую спецификацию

(1)

Алгоритм выбора тренда T(t) в модели (1):

1. Наблюдаем уровни ряда y_t, для которого создаем модель (1)

2. Из наблюдаемых уровней отбираем уровни базовых периодов. Пусть отобрано m уровней базовых периодов: y₁, y₂,…,y_m. (2)

3. Вычисляем по уровням (2) при τ=1,2,…,m-1 разности Δy_τ=y_τ+1-y_τ

4. Задаваясь значениями τ=1,2,… и Δτ=1, вычисляем значения индикаторов функции тренда:

I₁(τ)=Δ⁽²⁾y_τ=Δy_τ+1-Δy_τ

I₂(τ)= Δ⁽³⁾y_τ=ΔI₁(τ)=I₁(τ+1)-I₁(τ)

I₃(τ)=Δ()=

I₄(τ)=Δ(

I₅(τ)=Δ(τΔy_τ)=(τ+1)Δy_τ+1-τΔy_τ

I₆(τ)=Δ⁽²⁾(

5. Отмечаем те индикаторы, значения которых в ответ на изменение переменной τ, колеблются вокруг нуля. По данному индикатору выбираем соответствующую функцию тренда T(t) (наиболее простую):

- для I₁- линейная

-для I₂-парабола второго порядка

- для I₃-показательная

- для I_4-степенная

- для I₅-логарифмическая

- для I₆- логистическая

 

b) Модель броуновского движения

Временной ряд yt обладает следующими характеристиками

m_y(t)=y₀, σ_y²=σ_ξ²t, σ_yy(I,j)= σ_ξ²min(I,j)

55. Оценивание линейной модели с автокоррелированным остатком AR(1) алгоритмом Хильдретта – Лу.

Модель AR(1) имеет следующую спецификацию:

t, t-1

уравнение модели запишем в идее:

1. Задаемся на промежутке [0,1) набором пробных значений по правилу

(1)

где N-некоторое натуральное число

2. При каждом значении (1) составляем систему уравнений наблюдений

И вычислим на основании этой системы МНК-оценки ,

3. Выбираем из множества пробных значений (1) такую величину , при которой имеет место экстремум .

Выбранные величины и будут искомыми оценками параметров модели AR(1)

 

56. Проблема мультиколлинеарности, типы и симптомы мультиколлинеарности. Методика отбора регрессоров в линейной модели в ситуации мультиколлинеарности.

 

Мультиколлинеарность- ситуация, в которой в уравнениях наблюдений столбцы матрицы X становятся практически линейно зависимыми, что входит в противоречии с исходной предпосылкой теоремы Гаусса-Маркова. В ситуации мультиколлинеарности оценки параметров линейной регрессионной модели становятся ненадежными.

В условиях мультиколлинеарности текущий уровень ряда, как правило, может быть во многом объяснен предыдущими значениями

x_t≈c₀+c₁x_t-1+c₂x_t-2 (1)

Если (1) превращается в точное равенство, возникает ситуация совершенной мультиколлинеарности.

Симптомы:

а) резкое изменение значений оценок модели при незначительной вариации состава обучающей выборки;

б) наличие в оцененной модели небольших по модулю значений при достаточно высоком значении коэф-та детерминации;

в) большое значение коэф-та детерминации между каждой объясняющей пер-ой линейной модели и ее остальными объясняющими пер-ми.