Невырожденные линейные операторы. Теорема о взаимной однозначности

 

Определение. Линейный оператор называется невырожденным, если он любой ненулевой вектор переводит в ненулевой.

Теорема 4.4. Для того чтобы линейный оператор был невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы он был взаимно однозначным.

►Пусть – линейный оператор, А – его матрица в некотором базисе, X и Y – координатные столбцы в том же базисе векторов и соответственно. Тогда

{ невырожденный} { система имеет единственное решение} { единственный , что }

{ единственный , что } { f – взаимно однозначный}.◄

Теорема 4.6.Произведение невырожденных линейных операторов – невырожденный линейный оператор.

►Пусть и – невырожденные линейные операторы. Тогда

{ } { } { }.

Tаким образом, gf – невырожденный линейный оператор.◄

 

Вопрос 22

Обратный линейный оператор

 

 

Теорема 4.7. Для любого невырожденного линейногооператора существует единственный обратный оператор , который также является линейным. При этом, если А – матрица оператора в некотором базисе, то матрица оператора в том же базисе совпадает с матрицей .

► Единственность. Пусть некоторый оператор имеет два разных обратных: и . Тогда

– противоречие.

Существование. Пусть А – матрица оператора в некотором базисе. Тогда, по теореме 4.4 , значит, существует . Обозначим – тот линейный оператор, матрица которого в выбранном базисесовпадаетс .

Так как , и так как произведению матриц соответствует произведение операторов, то , и, таким образом, .◄

Замечание. М ожно доказать, что любой взаимно однозначный линейный оператор имеет единственный обратный, который тоже является линейным.

 

 

Вопрос 23

Определение и свойства изоморфизма линейных пространств

Определение.Изоморфизмом линейных пространств называется взаимно однозначный линейный оператор. Если существует изоморфизм , то линейные пространства и называются изоморфными. Изоморфизм обозначается так: .

Так как изоморфизм – взаимно однозначное отображение, то изоморфные объекты содержат одинаковое количество элементов. Кроме того, в силу линейности, действия, производимые над элементами пространства , одновременно производятся и над элементами пространства . Поэтому в математике изоморфные объекты не различаются.

Свойства изоморфизма

 

1. – рефлективность (изоморфизм осуществляет тождественное отображение).

2. – симметричность (если первый изоморфизм осуществляет с помощью отображения f, то второй – с помощью ).

3. { , } – транзитивность (если первый изоморфизм осуществляется с помощью отображения , второй – , то третий изоморфизм осуществляется с помощью отображения ).

Строгого доказательства этих свойств мы не приводим.

 

Вопрос 24