Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса

Пусть в линейном пространстве заданы два базиса:

(3.41)

. (3.42)

Принадлежность вектора второму базису отмечается штрихом, причем удобно штрих ставить не на вектор, а на индекс, например, – пятый вектор второго базиса. Тогда каждый из векторов второго базиса можно разложить по первому. Все координаты будем обозначать одной и той же ключевой буквой t с двумя индексами: нижним индексом обозначим номер разлагаемого вектора, а верхним – номер координаты. Таким образом,

(3.43)

Учитывая нашу договоренность, систему равенств (3.43) можно сокращенно записать одним равенством:

(3.44)

(оцените красоту записи!)

Введем следующие обозначения:

(подчеркиваем, что это матрицы-строки)

Тогда =[располагаем по правилу цепочки] = , откуда вытекает, что

. (3.45)

Матрицей перехода от базиса (3.41) к базису (3.42) называется матрица Т = , столбцами которой являются координатные столбцы векторов второго базиса в первом базисе, т. е. матрица, удовлетворяющая системе равенств (3.43) или (3.44), либо одному матричному равенству (3.45).

Изменение координат вектора при изменении базиса:

Пусть в линейном пространстве по-прежнему заданы два базиса (3.46) и (3.47). Выберем в произвольный вектор . Его можно разложить как по одному базису, так и по другому: и . Тогда

. (3.49)

Равенство (3.49) – это разложение вектора по базису (3.46), и поэтому в силу единственности координат вектора в данном базисе получаем

. (3.50)

Обозначим координатные столбцы вектора в базисах (3.46) и (3.47) соответственно (, ). Тогда (3.50) равносильно равенству , из которого вытекает, что

. (3.51)

Формулы (3.50) и (3.51) показывают, как изменяются координаты вектора при изменении базиса. Равенство (3.51) можно доказать и так:

Таким образом, – координатный столбец вектора в базисе (3.46), поэтому он совпадает с .

Вопрос 15

Понятие отображения. Произведение (композиция) отображений. Ассоциативность произведения. Тождественное отображение и его свойства. Взаимно однозначное отображение. Обратное отображение

Понятие отображения

Пусть Х и Y – множества элементов произвольной природы. Говорят, что задано отображение (читается: отображение f множества X во множество Y), если задан закон, по которому каждому элементу ставится в соответствие вполне определенный элемент (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Если , то называется образом элемента ; – прообразом элемента при отображении f.

Примерами отображений являются функции, которые изучаются в школьном курсе математики и в математическом анализе, например, функция – отображение . Классный журнал является примером отображения множества учеников в классе во множество всех фамилий.

Отображение называется тождественным, если оно любой элемент оставляет на месте. Тождественное отображение множества X на себя будем обозначать . Таким образом, .