Пусть в линейном пространстве 
заданы два базиса:
(3.41)
и
. (3.42)
Принадлежность вектора второму базису отмечается штрихом, причем удобно штрих ставить не на вектор, а на индекс, например, 
– пятый вектор второго базиса. Тогда каждый из векторов второго базиса можно разложить по первому. Все координаты будем обозначать одной и той же ключевой буквой t с двумя индексами: нижним индексом обозначим номер разлагаемого вектора, а верхним – номер координаты. Таким образом,
(3.43)
Учитывая нашу договоренность, систему равенств (3.43) можно сокращенно записать одним равенством:
(3.44)
(оцените красоту записи!)
Введем следующие обозначения:
(подчеркиваем, что это матрицы-строки)
.
Тогда 
=[располагаем по правилу цепочки] = 
, откуда вытекает, что
. (3.45)
Матрицей перехода от базиса (3.41) к базису (3.42) называется матрица Т = 
, столбцами которой являются координатные столбцы векторов второго базиса в первом базисе, т. е. матрица, удовлетворяющая системе равенств (3.43) или (3.44), либо одному матричному равенству (3.45).
Изменение координат вектора при изменении базиса:
Пусть в линейном пространстве 
по-прежнему заданы два базиса (3.46) и (3.47). Выберем в 
произвольный вектор 
. Его можно разложить как по одному базису, так и по другому: 
и 
. Тогда
. (3.49)
Равенство (3.49) – это разложение вектора 
по базису (3.46), и поэтому в силу единственности координат вектора в данном базисе получаем
. (3.50)
Обозначим 
координатные столбцы вектора 
в базисах (3.46) и (3.47) соответственно (
, 
). Тогда (3.50) равносильно равенству 
, из которого вытекает, что
. (3.51)
Формулы (3.50) и (3.51) показывают, как изменяются координаты вектора при изменении базиса. Равенство (3.51) можно доказать и так:
.
Таким образом, 
– координатный столбец вектора 
в базисе (3.46), поэтому он совпадает с 
.
Вопрос 15
Понятие отображения. Произведение (композиция) отображений. Ассоциативность произведения. Тождественное отображение и его свойства. Взаимно однозначное отображение. Обратное отображение
Понятие отображения
Пусть Х и Y – множества элементов произвольной природы. Говорят, что задано отображение 
(читается: отображение f множества X во множество Y), если задан закон, по которому каждому элементу 
ставится в соответствие вполне определенный элемент 
(рис. 4.1).
|
|
|
|
Рис. 4.1
Если 
, то 
называется образом элемента 
; 
– прообразом элемента 
при отображении f.
Примерами отображений являются функции, которые изучаются в школьном курсе математики и в математическом анализе, например, функция 
– отображение 
. Классный журнал является примером отображения множества учеников в классе во множество всех фамилий.
Отображение 
называется тождественным, если оно любой элемент оставляет на месте. Тождественное отображение множества X на себя будем обозначать 
. Таким образом, 
.
Отображение 
называется взаимно однозначным (или биективным, или биекцией), если оно удовлетворяет двум условиям:
1. 
такой, что 
.
2. 
или одному, эквивалентному им, третьему условию:
3. 
такой, что 
Хороший пример взаимно однозначного отображения: в театре дают билет, каждому билету соответствует некоторое кресло, причем только одно.
Отображения 
и 
называются равными, если 
.
Пусть заданы отображения 
и 
. Произведением (или композицией) отображений f и g называется отображение 
такое, что 
(рис. 4.2).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.2
Замечание. В произведении отображений сначала действует внутреннее, а затем внешнее отображение.
Примером произведения отображений является сложная функция.
Лемма 4.1. Произведение отображений ассоциативно, т. е. если заданы отображения 
, 
и 
, то
.
uДля доказательства равенства отображений 
и 
нужно показать, что 
.
Итак, выберем произвольное 
. Тогда
; (4.1)
(4.2)
Сравнивая (4.1) и (4.2), видим, что 
: 
и поэтому, 
.t
Отображение 
называется обратным к отображению 
, если 
и 
(рис. 4.3).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.3
Вопрос 16
