Лекции.Орг
 

Категории:


Как ухаживать за кактусами в домашних условиях, цветение: Для кого-то, это странное «колючее» растение, к тому же плохо растет в домашних условиях...


Экологические группы птиц Астраханской области: Птицы приспособлены к различным условиям обитания, на чем и основана их экологическая классификация...


Агроценоз пшеничного поля: Рассмотрим агроценоз пшеничного поля. Его растительность составляют...

Как пример аффинного, евклидова и метрического пространств



Загрузка...

 

Важнейшим примером аффинного пространства является пространство . Положим

,

.

Для любых и определим операцию . Проверим выполнение аксиом:

;

положим

.

Тогда

Предположим, что существует вектор такой, что . Пусть . Значит, . Так как , то и поэтому . Следовательно, – противоречие.

Таким образом, пространство с введенной в нем операцией откладывания вектора от точки становится n-мерным аффинным или точечным пространством. Упорядоченные наборы из чисел в зависимости от контекста рассматриваются либо как векторы, либо как точки, а операция складывания упорядоченных наборов, опять же в зависимости от контекста, рассматривается либо как сложение векторов, либо как откладывание вектора от точки.

В качестве системы координат в выбирают, как правило, следующую:

Эта система координат удобна тем, что в ней координаты точек и векторов совпадают с упорядоченными наборами, изображающими эти точки или векторы.

Введем в еще одну операцию. Скалярным произведением векторов и пространства назовем число

.

Свойства скалярного произведения

 

1°.

2°.

3°.

4°. причем

Свойства 1° – 4° вы легко докажете в качестве упражнения исходя из определения скалярного произведения в .

Пространство с введенной в нем операцией скалярного произведения называется евклидовым пространством (подробно категорию евклидовых пространств мы будем изучать в шестой главе).

Из свойства 4°скалярного произведения видно,что для любого вектора существует . Это позволяет ввести в понятие длины вектора.

Длиной вектора называется число .

Очевидно, если , то , т. е., как и в школьной математике, длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Приведем без доказательства еще два свойства скалярного произведения (доказывать их будем в 6-й главе).

Неравенство Коши Буняковского:

, или ;

неравенство треугольника:

, или .

Из неравенства Коши – Буняковского вытекает, что для всех ненулевых векторов пространства выполняется неравенство , что дает возможность ввести понятие угла между векторами.

Углом между ненулевыми векторами и пространства называется угол такой, что

Введем еще в понятие расстояния между точками.

Расстоянием между точками М и N в пространстве называется число . Если , а , то

.

Таким образом, как и в школьной математике, расстояние между двумя точками в пространстве равно корню квадратному из суммы квадратов разностей их соответствующих координат.

Свойства расстояния

 

1°.

2°.

3°. (неравенство треугольника).

►Вытекает из равенства и неравенства треугольника для векторов. ◄

Пространство с введенным таким образом расстоянием между двумя точками называется метрическим пространством.

Таким образом, замечательное пространство – это линейное, аффинное (точечное), евклидово и метрическое пространство.

 

Вопрос 8





Дата добавления: 2016-03-25; просмотров: 256 | Нарушение авторских прав


Рекомендуемый контект:


Похожая информация:

Поиск на сайте:


© 2015-2019 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.003 с.