Важнейшим примером аффинного пространства является пространство 
. Положим
,
.
Для любых 
и 
определим операцию 
. Проверим выполнение аксиом:
;
положим
.
Тогда 
Предположим, что существует вектор 
такой, что 
. Пусть 
. Значит, 
. Так как 
, то 
и поэтому 
. Следовательно, 
– противоречие.
Таким образом, пространство 
с введенной в нем операцией откладывания вектора от точки становится n- мерным аффинным или точечным пространством. Упорядоченные наборы из 
чисел в зависимости от контекста рассматриваются либо как векторы, либо как точки, а операция складывания упорядоченных наборов, опять же в зависимости от контекста, рассматривается либо как сложение векторов, либо как откладывание вектора от точки.
В качестве системы координат в 
выбирают, как правило, следующую:
Эта система координат удобна тем, что в ней координаты точек и векторов совпадают с упорядоченными наборами, изображающими эти точки или векторы.
Введем в еще одну операцию. Скалярным произведением векторов 
и 
пространства назовем число
.
Свойства скалярного произведения
1°. 
2°. 
3°. 
4°. 
причем 
Свойства 1° – 4° вы легко докажете в качестве упражнения исходя из определения скалярного произведения в .
Пространство с введенной в нем операцией скалярного произведения называется евклидовым пространством (подробно категорию евклидовых пространств мы будем изучать в шестой главе).
Из свойства 4°скалярного произведения видно, что для любого вектора 
существует 
. Это позволяет ввести в понятие длины вектора.
Длиной вектора 
называется число 
.
Очевидно, если 
, то 
, т. е., как и в школьной математике, длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.
Приведем без доказательства еще два свойства скалярного произведения (доказывать их будем в 6-й главе).
Неравенство Коши – Буняковского:
, или 
;
неравенство треугольника:
, или 
.
Из неравенства Коши – Буняковского вытекает, что для всех ненулевых векторов пространства выполняется неравенство 
, что дает возможность ввести понятие угла между векторами.
Углом между ненулевыми векторами 
и 
пространства называется угол 
такой, что 
Введем еще в понятие расстояния между точками.
Расстоянием между точками М и N в пространстве называется число 
. Если 
, а 
, то
.
Таким образом, как и в школьной математике, расстояние между двумя точками в пространстве равно корню квадратному из суммы квадратов разностей их соответствующих координат.
Свойства расстояния
1°. 
► 
◄
2°. 
► 
◄
3°. 
(неравенство треугольника).
►Вытекает из равенства 
и неравенства треугольника для векторов. ◄
Пространство 
с введенным таким образом расстоянием между двумя точками называется метрическим пространством.
Таким образом, замечательное пространство – это линейное, аффинное (точечное), евклидово и метрическое пространство.
Вопрос 8
