Определение. Пусть 
и 
– линейные пространства над одним и тем же полем 
. Отображение 
называется линейным оператором, если оно удовлетворяет следующим условиям:
1*. 
2*. 
Следствие. При линейном операторе образ линейной комбинации векторов равен такой же линейной комбинации их образов, т. е. если – линейный оператор, то 
:
(4.3)
uДоказательство проведем методом математической индукции по количеству векторов.
а) n = 1: 
[2*] 
– истинно.
б) Предполагая, что утверждение верно для (n -1)-го вектора, доказываем его для n векторов.
= [1*] =
[2* и предположение индукции] =
= 
t
Примеры линейных операторов
1. Нулевой оператор 
: 
. Очевидно, этот оператор удовлетворяет условиям 1* и 2*, значит, является линейным.
2. Тождественный оператор 
также, очевидно, является линейным.
3. Оператор дифференцирования 
, который каждой дифференцируемой функции ставит в соответствие ее производную, является линейным, так как производная суммы функций равна сумме их производных, а при умножении функции на число ее производная умножается на это число.
4. Пусть 
– пространство свободных векторов, 
Покажем, что оператор проектирования на ось 
является линейным.
►В аналитической геометрии доказывалось, что 
. Тогда
: 
= 
= 
= 
= 
;
: 
= 
= 
= 
Таким образом, условия 1* и 2* выполняются, а значит, оператор проектирования вектора на ось является линейным.◄
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторов плоскости, закрепленных в начале координат О, рассмотрим оператор 
поворота вектора на угол 
против часовой стрелки и докажем его линейность.
► Пусть 
– произвольные векторы,
(рис. 4.4), 
. Построим 
и 
по правилу параллелограмма. Так как плоскость поворачивается
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переходит в диагональ 
. Значит, 
.
| Рис. 4.5 |
, 
, 
, 
, 
(рис.4.5). Очевидно, вектор 
получен из 
поворотом на угол 
, следовательно, 
, а значит, 
. Аналогично это свойство проверяется и при 
, а при 
оно очевидно.◄
Теорема 4.1. Пусть 
и 
– линейные пространства над одним и тем же полем P и пусть в пространстве 
задан базис
, (4.4)
а в пространстве 
– произвольная система векторов
. (4.5)
Тогда существует единственный линейный оператор 
, переводящий базис (4.4) в систему (4.5), то есть такой, что
: 
. (4.6)
► Построение. Выберем произвольный вектор 
и разложим его по базису (4.4): 
. Положим по определению
.
Линейность. Если 
– произвольные векторы, 
, то 
, 
, 
, 
. Тогда
= [определение f ] = 
;
.
Выполнение (4.6). Заметим, что все координаты вектора 
в базисе (4.3) равны нулю, за исключением k -й, которая равна 1. Таким образом, i -я координата вектора 
равна 
, то есть 
. Тогда
,
значит, условие (4.6) выполнено.
Единственность. Предположим, что существует еще один линейный оператор 
, 
, переводящий (4.4) в (4.5), то есть такой, что 
. Тогда 
: 
– противоречие.◄
