Идею метода Ритца рассмотрим на примере простейшей вариационной задачи
, (1)
. (2)
Будем считать, что вариационная задача (1), (2) имеет решение 
: 
.
Последовательность функций 
называют минимизирующей, если 
. Основная идея метода Ритца заключается в сведении вариационной задачи к задаче на отыскание минимума функции. Пусть имеется семейство функций 
, таких, что при любых конечных значениях числовых параметров 
каждая функция 
принадлежит 
. Тогда
и возникает задача нахождения значений 
параметров, при которых функция 
принимает минимальное значение. Если функция непрерывно дифференцируема по своим аргументам, то можно воспользоваться принципом Ферма и определить искомые значения параметров 
из системы уравнений 
. (3). В методе Ритца в качестве 
-го приближения к решению 
вариационной задачи (1), (2) берется функция 
.
Семейство функций 
, называется 
-полным на , если для 
, 
, такие, что 
.
Теорема. Если функция 
непрерывна в области 
и семейство функций 
является -полным на , то последовательность 
, построенная по Ритцу минимизирующая.
Доказательство. Зададимся произвольным положительным числом 
. В силу непрерывности 
, существует 
, такое,что
при 
.
Поскольку система функций 
является -полной на , то для 
, такие, что функция 
удовлетворяет неравенствам
при 
. Таким образом,
.
Учитывая, что 
, отсюда имеем 
. Так как 
произвольно, то окончательно получаем 
. Теорема доказана.
Для функционала 
(4) имеет место
Теорема. Если последовательность 
является минимизирующей для вариационной задачи (4), (2), то она сходится к решению этой задачи.
Доказательство. Элемент 
минимизирующей последовательности приближает решение 
вариационной задачи с погрешностью
.
Применяя к последнему интегралу неравенство Буняковского, имеем
.
Учитывая, что 
на 
, получаем
Учитывая 
, получаем окончательную оценку
, из которой следует утверждение теоремы.
Вариационно-разностный вариант метода Рица.
Решение вариационной задачи
(1)
. (2)
методом Ритца заключается в построении минимизир. последовательности 
. (3) Значения параметров 
находятся из системы линейных алгебраических уравнений 
, (4) коэффициенты которой вычисляются по формулам
(5)
. (6)
Следовательно, основной объем вычислений при решении вариационной задачи (1), (2) методом Рица приходится на вычисления по формулам (5), (6) и решение системы (4). Уменьшить объем вычислений можно за счет рац. выбора корд. ф-ий. На отрезке 
построим сетку
. (7) и зададим последовательность координатных функций
и 
(8). При таком задании координатных функций для значений минимизир. посл-ти ф-ий (3) во внутр. узлах сетки получаем
След-но, значения парам. имеют смысл приближений 
к решению во внутренних узлах сетки и формулы (3) и (4) можно переписать в виде
(3’), 
(4’).
Подставим в расчетные формулы (5) и (6) заданные координатные функции (8). Получаем 
при 
,
,
Система (4¢) в данном случае является симметричной и трехдиагональной 
, 
, 
.
58. Построение системы линейных уравнений для определения значений параметров в методе Ритца.
Краевая задача 
, (1)
(2) эквивалентна вариационной задаче
(3)
. (4)
Сначала зададим семейство функций 
, которое было бы -полным на , а затем построим минимизирующую последовательность 
, где значения параметров опр-ся из системы вида 
. (5). Выберем последовательность функций 
так, чтобы выполнялись следующие условия:
1) 
;
2) 
;
3) функции 
линейно независимы;
4) система функций , образованных по правилу 
является - полной на .
Очевидно, коэффициенты 
при 
можно трактовать, как координаты функции 
. Поэтому функции 
называют координатными. Имеем
Система (5) в данном случае получается в виде (6)
Систему можно записать в стандартной форме
, где коэффициенты определяются формулами 
Теорема. Если на , то система (6) имеет единственное решение.
Доказательство. Рассмотрим однородную систему, соответствующую (6): 
Умножим каждое уравнение системы на соответствующее 
и просуммируем получившиеся уравнения. В результате получим
В силу положительности 
отсюда следует 
и 
. Таким образом, 
, поскольку координатные функции линейно независимы. Следовательно, рассматриваемая однородная система имеет только тривиальное решение, ее определитель отличен от нуля и соответствующая неоднородная система имеет единственное решение при любых правых частях уравнений. Теорема доказана.
В качестве координатных функций на практике часто берут функции: 1) 
или 
; 2) 
. При этом в обоих случаях для обеспечения выполнения граничных условий берут функцию 
. Легко видеть, что система функций 
принадлежит множеству допустимых функций. Доказательство -полноты на системы функций с координатными функциями первого вида проведем сначала для случая нулевых граничных условий 
. Возьмем 
и 
. Для 
существует многочлен 
степени 
, такой, что 
. Рассмотрим многочлен степени 
: 
. Он принадлежит множеству . Для производных на отрезке справедлива оценка 
Проведем оценку приближения на отрезке функции 
многочленом 
Обозначим 
. Отсюда 
. Таким образом, многочлен 
представляется в виде 
. Рассмотрим теперь случай ненулевых граничных условий. Возьмем и . Для функции 
построим указанным выше способом многочлен 
, для которого выполняются неравенства 
Таким образом, многочлен 
и его производная приближают соответственно функцию и ее производную с погрешностью, не превышающей 
.
