Метод Ритца решения вариационных задач

Идею метода Ритца рассмотрим на примере простейшей вариационной задачи

, (1)

. (2)

Будем считать, что вариационная задача (1), (2) имеет решение : .

Последовательность функций называют минимизирующей, если . Основная идея метода Ритца заключается в сведении вариационной задачи к задаче на отыскание минимума функции. Пусть имеется семейство функций , таких, что при любых конечных значениях числовых параметров каждая функция принадлежит . Тогда

и возникает задача нахождения значений параметров, при которых функция принимает минимальное значение. Если функция непрерывно дифференцируема по своим аргументам, то можно воспользоваться принципом Ферма и определить искомые значения параметров из системы уравнений . (3). В методе Ритца в качестве -го приближения к решению вариационной задачи (1), (2) берется функция .

Семейство функций , называется -полным на , если для , , такие, что .

Теорема. Если функция непрерывна в области и семейство функций является -полным на , то последовательность , построенная по Ритцу минимизирующая.

Доказательство. Зададимся произвольным положительным числом . В силу непрерывности , существует , такое,что

при .

Поскольку система функций является -полной на , то для , такие, что функция удовлетворяет неравенствам

при . Таким образом,

.

Учитывая, что , отсюда имеем . Так как произвольно, то окончательно получаем . Теорема доказана.

Для функционала (4) имеет место

Теорема. Если последовательность является минимизирующей для вариационной задачи (4), (2), то она сходится к решению этой задачи.

Доказательство. Элемент минимизирующей последовательности приближает решение вариационной задачи с погрешностью

.

Применяя к последнему интегралу неравенство Буняковского, имеем

.

Учитывая, что на , получаем

Учитывая , получаем окончательную оценку

, из которой следует утверждение теоремы.

 

Вариационно-разностный вариант метода Рица.

Решение вариационной задачи

(1)

. (2)

методом Ритца заключается в построении минимизир. последовательности . (3) Значения параметров находятся из системы линейных алгебраических уравнений , (4) коэффициенты которой вычисляются по формулам

(5)

. (6)

Следовательно, основной объем вычислений при решении вариационной задачи (1), (2) методом Рица приходится на вычисления по формулам (5), (6) и решение системы (4). Уменьшить объем вычислений можно за счет рац. выбора корд. ф-ий. На отрезке построим сетку

. (7) и зададим последовательность координатных функций

и (8). При таком задании координатных функций для значений минимизир. посл-ти ф-ий (3) во внутр. узлах сетки получаем

След-но, значения парам. имеют смысл приближений к решению во внутренних узлах сетки и формулы (3) и (4) можно переписать в виде

(3’), (4’).

Подставим в расчетные формулы (5) и (6) заданные координатные функции (8). Получаем при ,

,

Система (4¢) в данном случае является симметричной и трехдиагональной , , .
58. Построение системы линейных уравнений для определения значений параметров в методе Ритца.

Краевая задача , (1)

(2) эквивалентна вариационной задаче

(3)

. (4)

Сначала зададим семейство функций , которое было бы -полным на , а затем построим минимизирующую последовательность , где значения параметров опр-ся из системы вида . (5). Выберем последовательность функций так, чтобы выполнялись следующие условия:

1) ;

2) ;

3) функции линейно независимы;

4) система функций , образованных по правилу является - полной на .

Очевидно, коэффициенты при можно трактовать, как координаты функции . Поэтому функции называют координатными. Имеем

Система (5) в данном случае получается в виде (6)

Систему можно записать в стандартной форме

, где коэффициенты определяются формулами

Теорема. Если на , то система (6) имеет единственное решение.

Доказательство. Рассмотрим однородную систему, соответствующую (6):

Умножим каждое уравнение системы на соответствующее и просуммируем получившиеся уравнения. В результате получим

В силу положительности отсюда следует и . Таким образом, , поскольку координатные функции линейно независимы. Следовательно, рассматриваемая однородная система имеет только тривиальное решение, ее определитель отличен от нуля и соответствующая неоднородная система имеет единственное решение при любых правых частях уравнений. Теорема доказана.

В качестве координатных функций на практике часто берут функции: 1) или ; 2) . При этом в обоих случаях для обеспечения выполнения граничных условий берут функцию . Легко видеть, что система функций принадлежит множеству допустимых функций. Доказательство -полноты на системы функций с координатными функциями первого вида проведем сначала для случая нулевых граничных условий . Возьмем и . Для существует многочлен степени , такой, что . Рассмотрим многочлен степени : . Он принадлежит множеству . Для производных на отрезке справедлива оценка

Проведем оценку приближения на отрезке функции многочленом

Обозначим . Отсюда . Таким образом, многочлен представляется в виде . Рассмотрим теперь случай ненулевых граничных условий. Возьмем и . Для функции построим указанным выше способом многочлен , для которого выполняются неравенства

Таким образом, многочлен и его производная приближают соответственно функцию и ее производную с погрешностью, не превышающей .