С распределенными параметрами

Схему замещения линии электропередач с распределенными параметрами можно представить в виде совокупности бесконечно малых участков длиной dx, где х – расстояние от начала линии (рис.14.1).

Первичными параметрами линии являются R ₀, L ₀, G ₀, С _0. Эти параметры обусловлены конструктивными особенностями линии.

Здесь R ₀ и L ₀ – продольные параметры.

R ₀ – активное сопротивление, обусловленное тепловыми потерями в проводах и поверхностными эффектами.

L ₀ – индуктивность цепи, определяемая магнитным потоком, который сцепляется с контуром тока, образуемым токоведущими проводами.

G ₀ и С ₀ – поперечные параметры линии.

G ₀ – поперечная проводимость или проводимость утечки, вызванная несовершенством изоляции проводов, причем в данном случае G ₀ ≠ R ₀, так как эти параметры обусловлены различными причинами и не связаны друг с другом.

С ₀ – емкость цепи, обусловленная емкостью между проводами, емкостью проводов по отношению к земле.

Индекс «0» указывает на то, что параметры приходятся на единицу длины линии (погонные параметры).

Линия с распределенными параметрами является однородной, если продольные и поперечные параметры всех элементарных участков линии одинаковой длины равны.

Параметры R ₀, L ₀, G ₀, C ₀ называются основными или первичными параметрами линии с распределенными параметрами. Вторичными или характеристическими параметрами линии являются: волновое сопротивление Z_{В ,} коэффициент распространения γ, коэффициент затухания α, коэффициент фазы β.

Будем отсчитывать координату х от начала линии. Величина тока в проводах линии будет зависеть не только от времени, но и от координаты, поскольку на каждом участке dx ток ответвляется от одного провода к другому в виде тока смещения

и тока проводимости

.

Поэтому если ток в точке х равен i,то в точке х+dx он уже будет равен . Уравнение для приращения тока на элементе длины dx запишется в следующем виде:

.

Отсюда . (14.1)

Также и напряжение между проводами зависит не только от времени, но и от координаты, поскольку на каждом участке dx происходит падение напряжения на сопротивлении пары проводов

и на индуктивности

.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа уравнение для напряжения можно записать в следующем виде:

.

Отсюда . (14.2)

Уравнения (14.1) и (14.2) называются телеграфными уравнениями.

 

Решение уравнений однородной линии при установившемся

Синусоидальном режиме

Рассмотрим решение телеграфных уравнений при установившемся синусоидальном режиме. В этом случае мы можем перейти к комплексам напряжения и тока, которые не зависят от времени, следовательно, уравнения в частных производных сводятся к обычным дифференциальным уравнениям:

.

Продифференцируем первое уравнение по х:

.

Подставим в него из второго уравнения:

или

,

где обозначили .

Величина γ называется коэффициентом распространения. В общем случае это величина комплексная: γ = α + јβ, где α – коэффициент затухания, β – коэффициент фазы.

 

Решение этого уравнения ищем в виде

.

Дифференцируя это выражение, находим уравнение для тока

 

где – волновое или характеристическое сопротивление линии.

Определим постоянные интегрирования. Обозначим индексом 1 ток и напряжение в начале линии, а индексом 2 – в конце. Будем считать, что ток и напряжение в начале линии (при х = 0) известны, тогда

; .

Отсюда

; .

Подставим эти значения в выражения для тока и напряжения:

;

.

Воспользовавшись соотношениями Эйлера:

,

получим выражения для тока и напряжения в любой точке линии:

В конце линии при x = l получим:

Обычно этими уравнениями пользуются, считая известными токи и напряжения в конце линии (в нагрузке). Тогда в начале линии получим:

Система уравнений в любой точке линии будет иметь следующий вид:

При согласованных нагрузках, когда Z ₁ = Z ₂= Z_B, уравнения линии сводятся к более простому виду:

Отношение мощностей в начале и конце линии выражается соотношением

.

Волновое сопротивление и коэффициент распространения – вторичные параметры линии – широко используются для определения эксплуатационно-технических качеств линии связи.

Волновое сопротивление – это сопротивление, которое встречает электромагнитная волна при распространении вдоль однородной линии без отражения. Оно свойственно данному типу кабеля и зависит только от первичных параметров и частоты передаваемого тока.

Коэффициент распространения характеризует потери энергии в цепи передачи – это величина комплексная и может быть записана в следующем виде: γ = α + јβ.

Соотношения токов и напряжений в начале и в конце линии можно представить в виде

.

Модуль этого выражения характеризует уменьшение абсолютного значения тока или напряжения при прохождении вдоль линии длиной l, коэффициент α называют коэффициентом затухания. Аргумент характеризует изменение угла векторов тока или напряжения вдоль линии, β – коэффициент фазы.

Коэффициент затухания на единицу длины линии определяется по формуле измеряется в неперах или в белах (децибелах). Для децибелов вышеприведенная формула примет вид

.

Коэффициент фазы, в свою очередь, зависит от первичных параметров линии. Таким образом, коэффициент затухания определяет качество и дальность связи, коэффициент фазы скорость перемещения энергии по линии связи.

 

Бегущие волны

Рассмотрим напряжение между проводами однородной линии. Запишем его в виде

.

Поскольку выражения в скобках комплексные, то их можно записать в показательной форме, обозначив

где ζ и η – аргументы комплексных выражений.

Тогда напряжение можно записать

.

С учетом того, что , получим

.

Перейдем от комплексных амплитуд к синусоидальным функциям, тогда мгновенное значение напряжения запишется в следующем виде:

.

Из этого выражения следует, что напряжение в любой точке линии можно рассматривать как сумму двух синусоидальных функций.

Рассмотрим подробнее первую из них

.

Возьмем какую-либо точку х на линии, то есть считаем, что х = const. Тогда в этой точке напряжение будет являться синусоидальной функцией времени (рис. 14.2).

Теперь зафиксируем какой-то момент времени t ₁ = const и рассмотрим изменение напряжения вдоль линии (рис. 14.3).

В этом случае мы увидим затухающую синусоидальную волну напряжения, амплитуда которой убывает по экспоненциальному закону по мере удаления от начала линии.

Зафиксируем теперь другой момент времени t ₂ =const и увидим, что волна напряжения сместилась к концу линии. В следующий момент она сместится еще больше, то есть волна напряжения как бы движется от начала линии к ее концу. Такая волна называется бегущей волной.

Если мы проведем аналогичный анализ для другой синусоиды

,

то получим так же бегущую волну, но распространяющуюся от конца линии к началу.

Волна напряжения (или тока), перемещающаяся от начала линии к ее концу, называется прямой или падающей. Волна, перемещающаяся от конца линии к началу, называется обратной или отраженной.

Таким образом, мгновенное напряжение можно рассматривать как сумму двух волн, движущихся в противоположных направлениях.

Скорость перемещения падающей волны называют фазовой скоростью. По сути, фазовая скорость – это скорость перемещения точки, фаза которой остается неизменной:

,

следовательно,

или .

Отсюда определим фазовую скорость

Фазовая скорость обратной волны равна

Введем понятие длины волны. Обозначим λ – расстояние между двумя точками линии, в которых фазы различаются на 2 π, тогда

.

Отсюда длина волны определится как

Появление обратной волны можно рассматривать как отражение прямой волны от конца линии. Для оценки этого явления вводятится коэффициент отражения.

Коэффициентом отражения называют отношение напряжений отраженной волны и прямой волны в конце линии

Обычно коэффициент отражения определяют через сопротивление нагрузки и волновое сопротивление линии

.

Если нагрузка согласованная, то есть сопротивление нагрузки равно волновому сопротивлению Z_н= Z_В, то коэффициент отражения равен нулю р = 0 и отраженной волны не будет. В этом случае вся энергия, поступающая к приемнику, потребляется им. Этот режим наиболее оптимален, и его стараются реализовать на практике.

Если , что соответствует режиму короткого замыкания, то коэффициент отражения р = –1. Если , что соответствует режиму холостого хода, то р = 1. В обоих последних случаях энергия, поступающая к приемнику, отражается полностью и не потребляется приемником.

 

Линия без искажений

Волновое сопротивление и коэффициент распространения линии определяются выражениями:

; .

Из этих выражений видно, что данные параметры зависят от частоты, поэтому условия прохождения токов различных частот вдоль длинной линии оказываются различными. Если, например, на входе линии действует сигнал, являющийся периодической несинусоидальной функцией времени, то на выходе форма сигнала будет отличаться от входной, поскольку для различных гармоник условия прохождения тока различны, то есть сигнал при передаче вдоль линии искажается.

Во многих случаях, в частности, в линиях связи, важно, чтобы информация передавалась без искажений. Для этого необходимо, чтобы волновое сопротивление Z_В, коэффициент затухания α и фазовая скорость v_ф не зависели от частоты. При этом коэффициент фазы β должен быть прямо пропорционален частоте.

Эти требования выполняются в том случае, если между первичными параметрами справедливо соотношение

Тогда волновое сопротивление определяется соотношением

,

то есть не зависит от частоты.

Выразим коэффициент распространения

Здесь , а , то есть коэффициент затухания не зависит от частоты, коэффициент фаза прямо пропорционален частоте. Фазовая скорость

.

Обычно в линиях

.

Добиться равенства в этом выражении можно, увеличивая индуктивность или проводимость, либо уменьшая сопротивление или емкость.

Уменьшения сопротивления можно добиться, увеличивая сечение проводов, но это приведет, во-первых, к увеличению расхода металла, а, следовательно, к удорожанию кабеля, во-вторых, к утяжелению несущих конструкций, что требует опять же увеличения капитальных затрат. То есть уменьшать сопротивление нецелесообразно.

Уменьшения емкости можно добиться технологически, выбирая диэлектрик с наименьшими значениями диэлектрической проницаемости, но в кабельных линиях и так используются диэлектрики с небольшими диэлектрическими проницаемостями, а уменьшить этот параметр ниже единицы невозможно. Можно увеличить расстояния между проводами, он это приведет как к увеличению габаритных размеров линии, так и к изменению других параметров.

Увеличение проводимости нецелесообразно, поскольку это приведет к ухудшению изоляционных свойств диэлектрика и к увеличению потерь.

Остается индуктивность. Таким образом, коэффициент затухания кабельных линий связи уменьшают путем искусственного увеличения индуктивности цепи, включая в линию через определенные расстояния специальные катушки индуктивности.

Кроме того, чтобы линия была неискажающей, необходимо отсутствие отражений от конца линии, для этого линия должна быть согласована. Если Z_н≠ Z_В, то согласования добиваются, включая между источником и приемником согласующее устройство, которым может быть трансформатор со специально подобранным числом витков или участок линии определенной длины.

 

Линия без потерь

Потери энергии в линиях обусловлены нагревом проводов за счет выделения джоулева тепла при прохождении тока и за счет вихревых токов, что характеризуется первичным параметром R ₀. Также потери могут быть вызваны токами утечки, что характеризуется проводимостью G ₀.

Обычно в линиях связи индуктивное сопротивление превышает активное, а емкостная проводимость превышает активную, то есть

.

С ростом частоты разница между этими величинами становится более существенной, поэтому в ряде случаев при расчетах можно рассматривать линию как не имеющую потерь. В линии без потерь затухание отсутствует. При этом упрощаются расчетные выражения. Коэффициент распространения становится мнимой величиной, а гиперболические функции мнимого аргумента преобразуются в тригонометрические. Система уравнений для линии без потерь принимает следующий вид:

;

.

Таким обратом, основными исходными предположениями, позволяющими рассматривать линию как линию без потерь, являются пренебрежимо малые значения активных параметров линии:

R ₀ = 0; G ₀ = 0.

В этом случае вторичные параметры линии принимают следующий вид:

коэффициент затухания

α = 0;

коэффициент распространения

γ = jβ;

коэффициент фазы

;

волновое сопротивление

.

Фазовая скорость определится выражением

.

Виду постоянства фазовой скорости отсутствуют фазовые искажения, следовательно, линия без потерь будет являться также неискажающей линией.