Рассмотрим последовательную цепь, то есть простейшую цепь, содержащую резистивный индуктивный и емкостный элементы (рис. 11.10).
Рассмотрим общий случай входного напряжения u = u (t).
Составим уравнение состояния для этой цепи. Согласно второму закону Кирхгофа имеем:
В данной схеме две независимые переменные – ток индуктивности, который является общим для всей цепи, и напряжение на емкости, поэтому для определения переходных напряжений и тока дифференциальное уравнение можно составлять для любой из этих переменных.
Поскольку через все элементы протекает один и тот же ток, удобнее все напряжения выразить через ток
. (11.2)
В это уравнение ток входит в алгебраической, дифференциальной и интегральной формах. Чтобы свести ток к одной форме, продифференцируем уравнение то времени:
(11.3)
Получили дифференциальное уравнение второго порядка для тока в цепи.
Следует отметить, что порядок уравнения определяется количеством накопителей энергии в цепи. В данном случае имеется два накопителя энергии – индуктивность и емкость, следовательно, получаем дифференциальное уравнение второго порядка.
Решение этого уравнения ищем в виде суммы свободной и принужденной составляющих.
Принужденная составляющая определяется в установившемся режиме при t = ∞ и либо равна нулю 
при постоянном напряжении, либо определяется по закону Ома 
при переменном напряжении.
Для определения свободной составляющей составляем характеристическое уравнение. Рассмотрим два способа.
1. В уравнении (11.3) приравниваем нулю источники и заменяем символ дифференцирования 
, получим
Запишем это уравнение в приведенном виде:
.
2. Запишем уравнение для комплексного сопротивления цепи и приравняем его нулю
.
Сделаем замену 
, получим
.
Приведем это выражение к общему знаменателю
.
Запишем приведенное уравнение
.
Получили такое же уравнение, как и в первом случае.
Найдем корни характеристического уравнения
.
Проанализируем это выражение. При расчете корней характеристического уравнения возможны три случая.
1. Корни действительные, различные
Если дискриминант больше нуля, а это возможно в том случае, если
или 
,
то корни будут действительными и различными по величине р 1 ≠ р 2. В этом случае решение дифференциального уравнения для свободной составляющей ищем в виде
.
Переходной процесс при этом будет апериодическим. График переходного процесса показан кривой 1 на рис. 11.11.
 |
2. Корни действительные, равные
Действительные и равные по величине корни р 1 = р 2 = р будут в том случае, если дискриминант равен нулю, то есть, если
или 
.
В этом случае решение для свободной составляющей тока ищем в виде
.
Переходной процесс также будет апериодическим, но это предельный или критический режим (кривая 2 на рис. 11.11).
3. Корни комплексно-сопряженные
Такой режим будет в том случае, если дискриминант отрицательный, то есть
или 
.
Корни характеристического уравнения
.
В этом случае переходной процесс будет затухающим колебательным, то есть ток будет изменяться относительно принужденной составляющей по синусоидальному закону с затухающей амплитудой (кривая 3 на рис. 3.11). Решение для свободной составляющей ищем в виде
.
В этом выражении ввели следующие обозначения:
– коэффициент затухания;
– частота свободных колебаний.
Скорость затухания тока характеризуется декрементом колебаний, равным отношению двух последующих амплитуд
,
где Т = 
– период затухающих колебаний.
Чаще пользуются логарифмическим декрементом колебаний
.
При любом характере корней свободная составляющая содержит две постоянных интегрирования, то есть две неизвестных величины, для определения которых необходимо составить два уравнения.
Для определения постоянных интегрирования необходимо знать значение тока и всех его производных в начальный момент времени.
Выражения для полного тока и его производной имеют вид:
;
.
Запишем исходное уравнение (11.2) при t = 0
.
Напряжение источника и (0), как правило, известно; i (0) и иС (0) – независимые начальные условия, определяемые по состоянию цепи до коммутации и законам коммутации.
Из этого выражения можно найти
.
При t = 0 имеем: 
.
Решая эти уравнения относительно А 1 и А 2, находим постоянные интегрирования.
Рассмотрим частные случаи переходных процессов в R -, L -, C -цепи.
