Переходные процессы в цепи, содержащей R-, L-, и С-элементы

Рассмотрим последовательную цепь, то есть простейшую цепь, содержащую резистивный индуктивный и емкостный элементы (рис. 11.10).

 

Рассмотрим общий случай входного напряжения u = u (t).

Составим уравнение состояния для этой цепи. Согласно второму закону Кирхгофа имеем:

В данной схеме две независимые переменные – ток индуктивности, который является общим для всей цепи, и напряжение на емкости, поэтому для определения переходных напряжений и тока дифференциальное уравнение можно составлять для любой из этих переменных.

Поскольку через все элементы протекает один и тот же ток, удобнее все напряжения выразить через ток

. (11.2)

В это уравнение ток входит в алгебраической, дифференциальной и интегральной формах. Чтобы свести ток к одной форме, продифференцируем уравнение то времени:

(11.3)

Получили дифференциальное уравнение второго порядка для тока в цепи.

Следует отметить, что порядок уравнения определяется количеством накопителей энергии в цепи. В данном случае имеется два накопителя энергии – индуктивность и емкость, следовательно, получаем дифференциальное уравнение второго порядка.

Решение этого уравнения ищем в виде суммы свободной и принужденной составляющих.

Принужденная составляющая определяется в установившемся режиме при t = ∞ и либо равна нулю при постоянном напряжении, либо определяется по закону Ома при переменном напряжении.

Для определения свободной составляющей составляем характеристическое уравнение. Рассмотрим два способа.

1. В уравнении (11.3) приравниваем нулю источники и заменяем символ дифференцирования , получим

Запишем это уравнение в приведенном виде:

.

2. Запишем уравнение для комплексного сопротивления цепи и приравняем его нулю

.

Сделаем замену , получим

.

Приведем это выражение к общему знаменателю

.

Запишем приведенное уравнение

.

Получили такое же уравнение, как и в первом случае.

Найдем корни характеристического уравнения

.

Проанализируем это выражение. При расчете корней характеристического уравнения возможны три случая.

1. Корни действительные, различные

Если дискриминант больше нуля, а это возможно в том случае, если

или ,

то корни будут действительными и различными по величине р ₁ ≠ р ₂. В этом случае решение дифференциального уравнения для свободной составляющей ищем в виде

.

Переходной процесс при этом будет апериодическим. График переходного процесса показан кривой 1 на рис. 11.11.

2. Корни действительные, равные

Действительные и равные по величине корни р ₁ = р ₂ = р будут в том случае, если дискриминант равен нулю, то есть, если

или .

 

В этом случае решение для свободной составляющей тока ищем в виде

.

Переходной процесс также будет апериодическим, но это предельный или критический режим (кривая 2 на рис. 11.11).

3. Корни комплексно-сопряженные

Такой режим будет в том случае, если дискриминант отрицательный, то есть

или .

Корни характеристического уравнения

.

В этом случае переходной процесс будет затухающим колебательным, то есть ток будет изменяться относительно принужденной составляющей по синусоидальному закону с затухающей амплитудой (кривая 3 на рис. 3.11). Решение для свободной составляющей ищем в виде

.

В этом выражении ввели следующие обозначения:

– коэффициент затухания;

– частота свободных колебаний.

Скорость затухания тока характеризуется декрементом колебаний, равным отношению двух последующих амплитуд

,

где Т = – период затухающих колебаний.

Чаще пользуются логарифмическим декрементом колебаний

.

При любом характере корней свободная составляющая содержит две постоянных интегрирования, то есть две неизвестных величины, для определения которых необходимо составить два уравнения.

Для определения постоянных интегрирования необходимо знать значение тока и всех его производных в начальный момент времени.

Выражения для полного тока и его производной имеют вид:

;

.

Запишем исходное уравнение (11.2) при t = 0

.

Напряжение источника и (0), как правило, известно; i (0) и и_С (0) – независимые начальные условия, определяемые по состоянию цепи до коммутации и законам коммутации.

Из этого выражения можно найти

.

При t = 0 имеем:

.

Решая эти уравнения относительно А ₁ и А ₂, находим постоянные интегрирования.

Рассмотрим частные случаи переходных процессов в R -, L -, C -цепи.