Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение

Пусть на входе цепи (рис. 11.10) действует постоянное напряжение U.

Запишем уравнение состояния цепи

.

Будем выполнять расчеты для напряжения емкости. Учтем, что емкостный ток можно определить по формуле

.

Подставим ток в дифференциальное уравнение, учитывая то, что ток через все элементы протекает один и тот же

.

Решение ищем в виде суммы свободной и принужденной составляющих.

.

Находим принужденную составляющую.

Поскольку сопротивление емкости постоянному току бесконечно велико, то принужденная составляющая тока будет равна нулю i_пр = 0. Падение напряжения на резистивном элементе также будет равно нулю, а индуктивность представляет собой короткое замыкание для постоянного тока, то есть U_L = 0, следовательно, все напряжение источника в установившемся режиме будет приложено к емкости и_Спр = U.

Для определения свободной составляющей составляем характеристическое уравнение, приравнивая нулю источники и заменяя символ дифференцирования оператором р

→ .

Находим корни уравнения

.

Рассмотрим решение для двух случаев корней.

Апериодический процесс

Решение для свободной составляющей ищем в виде

,

тогда

.

Для определения постоянных интегрирования записываем первую производную от напряжения

.

Находим в начальный момент переходного процесса t = 0 значения напряжения на емкости u_C (0) и его производной .

По второму закону коммутации , следовательно, u_C (0) = 0.

Первую производную находим из выражения для тока

.

По первому закону коммутации i (0₊) = i (0_-) = 0. Так как С ≠ 0, то нулю равна производная

.

Запишем уравнения для напряжения и его производной при t = 0

;

,

Из первого уравнения находим

,

Подставляем во второе уравнение

.

Отсюда получаем:

; .

Запишем окончательное решение для напряжения

;

График переходного процесса для напряжения с учетом того, что показан на рис. 11.12.

Найдем выражение для тока. Для этого необходимо продифференцировать выражение для напряжения

.

График переходного процесса для тока показан на рис. 11.13.

2. Колебательный процесс

В этом случае корни характеристического уравнения будут комплексно-сопряженные

.

Постоянные времени переходного процесса определятся выражением

Принужденные составляющие тока и напряжения имеют те же значения, что и в предыдущем случае

Начальные условия:

.

Поскольку корни комплексно-сопряженные, решение для свободной составляющей ищем в виде

.

Запишем уравнения для напряжения и его производной:

.

Используя начальные условия, получаем

.

Из первого уравнения находим

.

Подставляем во второе

Отсюда

.

Запишем решение для напряжения

.

График переходного процесса будет иметь вид (рис. 11.14).

Найдем ток в цепи

.

Приведем это выражение к привычному виду. Умножим и разделим выражение в скобках на .

.

Учтем, что

.

Рассмотрим выражение для корней характеристического уравнения

.

Здесь

; .

Тогда , отсюда ,

где ω ₀ – резонансная частота.

С учетом этого выражение для тока запишется

.

По правилам тригонометрических преобразований

.

Если принять, что , а , то .

Окончательно получим

.

Если учесть, что

, а ,

то выражение для тока можно записать в виде

.

График изменения тока показан на рис. 11.15.

Таким образом, переходной процесс будет затухающим. Скорость затухания характеризуется декрементом колебаний, равным отношению двух соседних амплитуд

.

Логарифмический декремент колебаний определится выражением:

.