Нехай в генеральній сукупності досліджуються дві нормально розподілені випадкові величини (ознаки) x і h з параметрами (a x, sx) і (a h, sh), відповідно. З цією метою проведено дві незалежні вибірки (x 1, x 2,..., 
) i (y 1, y 2,..., 
) з об’ємами n 1 і n 2.
Необхідно перевірити таку параметричну гіпотезу:
H 0: a x= a h. (4.21)
Розглянемо два випадки:
а) s x i s h – відомі.
Враховуючи, що значення математичних сподівань ax i ah випадкових величин x i h – невідомі, то для перевірки гіпотези (4.21) використовують їх точкові оцінки 
відповідно. Відомо [6], що, у випадку нормально розподілених x i h, вибіркові середні мають нормальний закон розподілу з параметрами 
i 
. Оскільки вибірки незалежні, то випадкові величини також незалежні.
З цього факту випливає, що випадкова величина (
) також є нормально розподіленою. Дійсно, використовуючи властивості математичного сподівання, дисперсії та їх точкових оцінок з врахуванням змісту гіпотези (4.21), будемо мати: 
Отже, випадкова величина () нормально розподілена з параметрами 
. Це дає змогу зробити висновок, що оскільки випадкова величина
, (4.22)
як неважко показати, є нормально розподіленою з параметрами (0,1), то вона може бути вибрана за міру різниці між математичними сподіваннями ax i ah.
При альтернативній гіпотезі 
для заданого рівня значущості a критичну область 
можна знайти з рівняння:
. (4.23)
А оскільки 
, то враховуючи те, що 
– нормально розподілена випадкова величина, отримаємо, що рівняння (4.23) запишеться у вигляді:
, (4.24)
де 
– функція Лапласа.
Розв’язуючи рівняння (4.24), для заданого a за таблицею 2 у додатку для функції Лапласа отримаємо, що межа (критична точка) критичної області знаходиться в точці 
.
При альтернативних гіпотезах: Н 1: 
; Н 1: 
, де 
– розв’язок рівняння 
.
Нехай 
– точкова оцінка випадкової величини 
, яка обчислюється на основі вибірок 
і 
за формулою (4.22). Тоді, якщо 
, то гіпотеза відхиляється, а в протилежному випадку – приймається.
Приклад 4.13. В результаті проведення двох вибірок об’ємами n 1=40 і n 2=50 при дослідженні деякої ознаки в генеральній сукупності отримані такі середні значення: 
і 
. Зробивши припущення про те, що дана ознака в генеральній сукупності нормально розподілена, необхідно перевірити гіпотезу H 0: ax = ah, якщо відомо, що sx = sh =0,3 i a =0,01.
Розв’язок. За формулою (4.22), виходячи з умови задачі, знайдемо, що: 
Розв’язавши рівняння (4.21), із таблиці 2 у додатку для функції Лапласа отримаємо значення межі критичної області t 0,01 = 2,58.
Оскільки 
> t 0,01, то, згідно із вищенаведеним критерієм, дану гіпотезу треба відхилити.
б) sx i sh – невідомі.
Необхідно підкреслити, що побудувати критерій узгодження для гіпотези H 0 (4.21) в загальному у даному випадку не вдається. Це складає, так звану, проблему Беренса -Фішера. Тому розглянемо лише частковий випадок, а саме: будемо вважати, що s 2 x = s 2 h = s 2, оскільки при виконанні цієї умови можна знайти випадкову величину t, як міру відхилення між математичними сподіваннями ax i ah.
Дійсно, можна показати, аналогічно як і в попередньому випадку, що якщо x i h - нормально розподілені випадкові величини, то випадкова величина () також має нормальний розподіл з параметрами 
. У математичній статистиці, наприклад, в [6], доведено, що, якщо за точкову оцінку дисперсії 
вибрати наступну зміщену (це неважко показати) точкову оцінку:
, (4.25)
де 
i 
- виправлені вибіркові дисперсії випадкових величин x i h, а випадкова величина () є нормально розподіленою, то випадкова величина
(4.26)
має t - розподіл Стьюдента з 
числом ступенів свободи. Саме це дає змогу знайти критичну область виду 
, де a - рівень значущості.
Згідно з (4.2), рівняння для отримання межі (критичної точки) критичної області, виходячи з (4.26), буде мати вигляд:
. (4.27)
Розв’язуючи рівняння (4.27), для заданого рівня значущості a і числа ступенів свободи за таблицею 4 для t -розподілу Стьюдента дістанемо, що межа критичної області знаходиться в точці 
.
А це дозволяє сформулювати шуканий критерій узгодження таким чином.
Нехай 
– точкова оцінка випадкової величини t, яка обчислена на основі вибірок (x 1, x 2,..., 
) і (y 1, y 2,..., 
) за формулою (4.26). Тоді:
1. Якщо 
, то гіпотеза H 0 відхиляється;
2. Якщо ж 
, то гіпотеза H 0 приймається.
Зауваження 4.9. При перевірці гіпотези (4.18) для заданого рівня значущості a контролюється лише помилка першого роду. Задача про перевірку гіпотези про рівність математичних сподівань випадкових величин (ознак) x і h в генеральній сукупності має велике прикладне значення. Зокрема, у промисловості та торгівлі задача порівняння середніх часто виникає при вибірковому контролю якості виробів. Критерій узгодження, який сформульований у випадку б) можна застосувати до задачі про виключення грубих помилок при проведенні вибіркових спостережень.
