Перевірка гіпотези про незалежність двох випадкових величин

Нехай проведено n експериментів, результати яких є значеннями дискретних випадкових величин і , які приймають відповідно значення x ₁, x ₂, …, x_m і y ₁, y ₂, …,y_l.

Позначимо через k_ij число експериментів, в яких і , . Якщо і - неперервні випадкові величини, то область значень кожної з них розбивається на скінченне число інтервалів. В цьому випадку - число експериментів, в яких випадкова величина попала в i – ий інтервал, а випадкова величина в j – ий інтервал. Результати n експериментів можна представити у таблиці спряженості ознак розміру m*l (Таблиця 4.3)

Таблиця 4.3.

	y1	y2	…	yl
x1	k11	k12	…	k1l	k1.
x2	k21	k22	…	k2l	k2.
…	…	…	…	…	…
xm	km1	km2		kml	km.
	k.1	k.2	…	k.l	k..=n

Перевіряється нульова гіпотеза H₀, яка стверджує, що випадкові величини і незалежні. Якщо гіпотеза H₀ вірна, то за означенням

.

Нехай і - оцінки ймовірностей і . Якщо гіпотеза H₀ вірна, то теоретичні частоти .

Для перевірки гіпотези H₀ за допомогою критерію використовують статистику

, (4.13)

яка при справедливості гіпотези H₀ і для має розподіл з (m -1)(l -1) ступенями свободи.

Нехай точкова оцінка випадкової величини . Тоді для заданого рівня значущості критична область , де знаходять за таблицею 5 у додатку.

Для зручності обчислень, формулу (4.13) можна переписати у виді

. (4.14)

Якщо теоретичні частоти для деяких кліток таблиці 4.3 не задовольняють умову , то відповідні рядки і стовпці повинні бути об’єднані з сусідніми рядками і стовпцями.

Якщо і , то мінімально допустиме значення теоретичних частот може бути рівним одиниці.

Випадкові величини і можна розглядати як дві ознаки, за якими класифікується вибірка об’єму n; незалежність і відповідає незалежності цих ознак.

В багатьох випадках потрібно перевірити гіпотезу про однорідність декількох вибірок, або, іншими словами, гіпотезу про те, що ці вибірки одержані з одної генеральної сукупності. Якщо перевіряється однорідність m різних вибірок з об’ємами n ₁, n ₂, …,n_m і вони можуть бути записані у виді таблиці 4.3, то можна використовувати той же критерій, що і для перевірки незалежності двох ознак.

Приклад 4.6. Проводився аналіз результатів (в балах) вступних випробувань з математики і української мови на трьох спеціальностях (результати розбили на дві групи: (>60; ) і отримали наступний розподіл:

Бали		Всього
>60
Всього

Чи можна вважати, що для рівня значущості результати вступних випробувань залежать від вибраної спеціальності.

Розв’язок. За формулою (4.14) знаходимо:

число ступенів свободи k =(2-1)(3-1)=2. За таблицею 5 додатку . Оскільки 3,575<4,6, то результати вступних випробувань не залежать від вибраної спеціальності.

Зауважимо, що твердження про те, що результати випробувань не залежать від вибраної спеціальності можна трактувати як перевірку гіпотези про однорідність трьох вибірок об’ємами 48, 53, 42.