На участке III (рис. 24, в) силы 
и 
направлены в противоположные стороны, так же как и на участке I, но в отличие от него меньший (по модулю) заряд (– Q) всегда находится ближе к заряду Q1, чем больший заряд (9 Q). Это значит, что можно найти такую точку на прямой, где силы и будут одинаковы по модулю, т. е.
. (1)
Пусть расстояние от меньшего заряда до заряда Q1 равно х, тогда расстояние от большего заряда будет (l+х). Выражая в равенстве (1) F1 и F2 в соответствии с законом Кулона, получим
.
Сокращая на QQ1 и извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, найдем l + x =±3 x, откуда x1 =+ l /2 и x2=-l /4.
Корень x2 не удовлетворяет физическому условию задачи (в этой точке силы F1 и F2 хотя и равны по модулю, но направлены в одну сторону).
Определим знак заряда, при котором равновесие будет устойчивым. Рассмотрим смещение заряда Q1 в двух случаях: 1) заряд положителен;2) заряд отрицателен.
1. Если заряд Q1 положителен, то при смещении его влево обе силы F1 и F2 возрастают, но F1 возрастает медленнее (заряд 9 Q всегда находится дальше, чем – Q). Следовательно, F2 (по модулю) больше, чем F1, и на заряд Q1 будет действовать результирующая сила, направленная также влево. Под действием этой силы заряд Q1 удаляется от положения равновесия. То же происходит и при смещении заряда Q1 вправо. Сила F2 убывает быстрее, чем F1. Векторная сумма сил в этом случае направлена вправо. Заряд под действием этой силы также будет перемещаться вправо, т. е. удаляться от положения равновесия. Таким образом, в случае положительного заряда равновесие является неустойчивым.
2. Если заряд Q1 отрицателен, то его смещение влево вызовет увеличение сил F2 и F1, но сила F1 возрастает медленнее, чем F2, т.е. | F2 |>| F1 |. Результирующая сила будет направлена вправо. Под действием этой силы заряд Q1 возвращается к положению равновесия. При смещении Q1 вправо сила F2 убывает быстрее, чем F1, т. е. | F1 |>| F2 |. результирующая сила направлена влево и заряд Q1 опять будет возвращаться к положению равновесия. При отрицательном заряде равновесие является устойчивым. Величина самого заряда Q1 несущественна.
Отметим, что в электростатике устойчивое равновесие возможно только при определенных ограничениях. В нашем примере заряд Q1 может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды – Q и 9 Q. Если это ограничение снять, то устойчивого равновесия не будет. В системе зарядов, находящихся под действием одних только электростатических сил, устойчивое равновесие невозможно (теорема Ирншоу).
Пример 3. Тонкий стержень длиной l =30 см (рис. 25) несет равномерно распределенный по длине заряд с линейной плотностью t =1 мкКл/м. На расстоянии r0 =20 см от стержня находится заряд Q1 =10 нКл, равноудаленный от концов, стержня. Определить силу F взаимодействия точечного заряда с заряженным стержнем.
Решение. Закон Кулона позволяет вычислить силу взаимодействия точечных зарядов. По условию задачи, один из зарядов не является точечным, а представляет собой заряд, равномерно распределенный по длине стержня. Однако если выделить на стержне дифференциально малый участок длиной dl, то находящийся на нем заряд dQ=t·dl можно рассматривать как точечный и тогда по закону Кулона сила взаимодействия между зарядами Q1 и dQ:
, (1)
где r — расстояние от выделенного элемента до заряда Q1. Здесь и далее, если в условии задачи не указана среда, имеется в виду, что заряды находятся в вакууме (e=1).
Из чертежа (рис. 25) следует, что 
и 
, где
r0 — расстояние от заряда Q1 до стержня. Подставив эти выражения в формулу (1), получим
. (2)
Следует иметь в виду, что 
— вектор, поэтому, преждечеминтегрировать разложим его на две составляющие: 
, перпендикулярную стержню, и 
, параллельную ему.
Из рис. 25 видно, что dF1 = dF cosa, dF 2= dF sina. Подставляя значение dF из выражения (2) в эти формулы, найдем:
.
Интегрируя эти выражения в пределах от – b до + b, получим
В силу симметрии расположения заряда Q1 относительно стержня интегрирования второго выражения дает нуль
Таким образом, сила, действующая на заряд Q1
. (3)
Из рис. 25 следует, что 
. Подставив это выражение sin b в формулу (3), получим
. (4)
Произведем вычисления по формуле (4):
Пример 4. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами: Q1 =30 нКл и Q2 = –10 нКл. Расстояние d между зарядами равно 20 см. Определить напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии r1 =15 см от первого и на расстоянии r2 =10 см от второго зарядов.
Решение. Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность 
электрического поля в искомой точке может быть найдена как векторная сумма напряженностей 
и 
полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: 
.
Напряженности электрического поля, создаваемого в вакууме первым и вторым зарядами, соответственно равны
(1)
Вектор (рис. 26) направлен по силовой линии от заряда Q1, так как заряд Q1 >0; вектор направлен также по силовой линии, но к заряду Q2, так как Q2 <0.
Модуль вектора Е найдем по теореме косинусов:
, (2)
где угол a может быть найден из треугольника со сторонами r1, r2 и d:
.
В данном случае во избежание громоздких записей вычислим отдельно значение cosa. По этой формуле найдем
cosa =0,25.
Подставляя выражения E1 и E2 а по формулам (1) в равенство (2) и вынося общий множитель 1/(4pe 0) за знак корня, получаем
.
Подставив значения величин p, e 0, Q1, Q2, r1, r2 и cosa в последнюю формулу и произведя вычисления, найдем
Пример 5. Электрическое поле создано двумя параллельными бесконечными заряженными плоскостями с поверхностными плотностями заряда s 1 =0,4 мкКл/м2 и s 2 =0,1 мкКл/м2. Определить напряженность электрического поля, созданного этими заряженными плоскостями.
Решение. Согласно принципу суперпозиции, поля, создаваемые каждой заряженной плоскостью в отдельности, накладываются друг на друга, причем каждая заряженная плоскость создает электрическое поле независимо от присутствия другой заряженной плоскости (рис. 27).
Напряженности однородных электрических полей, создаваемых первой и второй плоскостями, соответственно равны:
; 
.
Плоскости делят все пространство на три области: I, II и III. Как видно из рисунка, в первой и третьей областях электрические силовые линии обоих полей направлены в одну сторону и, следовательно, напряженности суммарных полей Е(I) и E(III) в первой и третьей областях равны между собой и равны сумме напряженностей полей, создаваемых первой и второй плоскостями: Е(I)= E(III) = E1+E2, или
Е(I)= E (III) = 
.
Во второй области (между плоскостями) электрические силовые линии полей направлены в противоположные стороны и, следовательно, напряженность поля E(II) равна разности напряженностей полей, создаваемых первой и второй плоскостями: E(II)=|E1-E2|,или
.
Подставив данные и произведя вычисления, получим
E(I)=E(III)= 28,3 кВ/м; E(II) =17 кВ/м.
Картина распределения силовых линий суммарного поля представлена на рис. 28.
Пример 6. На пластинах плоского воздушного конденсатора находится заряд Q =10 нКл. Площадь S каждой пластины конденсатора равна 100 см2 Определить силу F, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным.
Решение. Заряд Q одной пластины находится в поле, созданном зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила (рис. 29)
F=E1Q (1)
где E1 — напряженность поля, создаваемого зарядом одной пластины. Но 
где s – поверхностная плотность заряда пластины.
Формула (1) с учетом выражения для E1 примет вид
.
Подставив значения величин Q, 
и S в эту формулу и произведя вычисления, получим
F =565 мкН.
Пример 7. Электрическое поле создано, бесконечной плоскостью, заряженной с поверхностной плотностью s = 400 нКл/м 2, и бесконечной прямой нитью, заряженной с линейной плотностью t =100 нКл/м. На расстоянии r =10 см от нити находится точечный заряд Q =10 нКл. Определить силу, действующую на заряд, ее направление, если заряд и нить лежат в одной плоскости, параллельной заряженной плоскости.
Решение. Сила, действующая на заряд, помещённый в поле,
F=EQ, (1)
где Е — напряженность поля в точке, в которой находится заряд Q.
Определим напряженность Е поля, создаваемого, по условию задачи, бесконечной заряженной плоскостью и бесконечной заряженной нитью. Поле, создаваемое бесконечной заряженной плоскостью, однородно, и его напряженность в любой точке
. (2)
Поле, создаваемое бесконечной заряженной линией, неоднородно. Его напряженность зависит от расстояния и определяется по формуле
. (3)
Согласно принципу суперпозиции электрических полей, напряженность поля в точке, где находится заряд Q, равна векторной сумме напряженностей и (рис. 30): . Так как векторы и взаимно перпендикулярны, то
.
Подставляя выражения E1 и E2 по формулам (2) и (3) в это равенство, получим
,
или
.
Теперь найдем силу F, действующую на заряд, подставив выражение Е в формулу (1):
. (4)
Подставив значения величин Q, e 0, s, t, p и r в формулу (4) и сделав вычисления, найдем
F =289 мкН.
Направление силы 
, действующей на положительный заряд Q, совпадает с направлением вектора напряженности поля. Направление же вектора задается углом a к заряженной плоскости. Из рис. 30 следует, что
, откуда 
.
Подставив значения величин p, r, s и t в это выражение и вычислив, получим
a=51°3¢
Пример 8. Точечный заряд Q =25 нКл находится в ноле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом R= 1 см, равномерно заряженным с поверхностной плотностью s =2 мкКл/м2. Определить силу, действующую на заряд, помещенный от оси цилиндра на расстоянии r =10 см.
Решение. Сила, действующая на заряд Q, находящийся в поле,
F=QE, (1)
где Е — напряженность поля в точке, в которой находится заряд Q.
Как известно, напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра
E = t /(2p e0r), (2)
где t — линейная плотность заряда.
Выразим линейную плотность t через поверхностную плотность s. Для этого выделим элемент цилиндра длиной l и выразим находящийся на нем заряд Q1 двумя, способами:
Q1=sS=s2pRl и Q1 = t l.
Приравняв правые части этих равенств, получим t l =2p Rls. После сокращения на l найдем t =2p Rs. С учетом этого формула (2) примет вид E=Rs /(e0r). Подставив это выражение Е в формулу (1), найдем искомую силу:
F=QsR /(e0r). (3)
Так как R и r входят в формулу в виде отношения, то они могут быть выражены в любых, но только одинаковых единицах.
Выполнив вычисления по формуле (3), найдем
F =25×10-9×2×10-6×10-2/(8,85×10-12×10×10-2)H=565×10-6H=565мкH.
Направление силы совпадает с направлением вектора напряженности , а последний в силу симметрии (цилиндр бесконечно длинный) направлен перпендикулярно цилиндру.
Пример 9. Электрическое поле создано тонкой бесконечно длинной нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью t =30 нКл/м. На расстоянии а =20 см от нити находится плоская круглая площадка радиусом r =1 см. Определить поток вектора напряженности через эту площадку, если плоскость ее составляет угол b =30° с линией напряженности, проходящей через середину площадки.
Решение. Поле, создаваемое бесконечно равномерно, заряженной нитью, является неоднородным. Поток вектора напряженности в этом случае выражается интегралом
, (1)
где En — проекция вектора на нормаль 
к поверхности площадки dS. Интегрирование выполняется по всей поверхности площадки, которую пронизывают линии напряженности.
Проекция Еп вектора напряженности равна, как видно из рис. 31,
Еп=Е cosa,
где a — угол между направлением вектора и нормалью . С учетом этого формула (1) примет вид
.
Так как размеры поверхности площадки малы по сравнению с расстоянием до нити (r << a), то электрическое поле в пределах площадки можно считать практически однородным. Следовательно, вектор напряженности очень мало. меняется по модулю и направлению в пределах площадки, что позволяет заменить под знаком интеграла значения Е и cosa их средними значениями < E > и <cosa> и вынести их за знак интеграла:
Выполняя интегрирование и заменяя < E > и <cosa> их приближенными значениями ЕA и cos aA, вычисленными для средней точки площадки, получим
Ф E = ЕA cos aAS =p r 2 ЕA cosa A. (2)
Напряженность ЕA вычисляется по формуле EA =t/(2pe 0 a). Из рис. 31 следует cos aA =cos(p/2 —b)=sinb.
С учетом выражения ЕA и cos aA равенство (2.) примет вид
.
Подставив в последнюю формулу данные и произведя вычисления, найдем
Ф E =424 мВ·м.
Пример 10. Две концентрические проводящие сферы радиусами R1 =6 см и R2= 10 см несут соответственно заряды Q1 =l нКл и Q2 = – 0,5 нКл. Найти напряженность Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r1 =5 см, r2 =9 см, r3 =15см. Построить график Е (r).
Решение. Заметим, что точки, в которых требуется найти напряженности электрического поля, лежат в трех областях (рис. 32): область I (r < R1), область II (R1 < r2 < R2), область III (r3 > R2).
1. Для определения напряженности E1 в области I проведем сферическую поверхность S1 радиусом r1 и воспользуемся теоремой Остроградского—Гаусса. Так как внутри области I зарядов нет, то согласно указанной теореме получим равенство
, (1)
где En — нормальная составляющая напряженности электрического поля.
Из соображений симметрии нормальная составляющая En должна быть равна самой напряженности и постоянна для всех точек сферы, т. е. En=E1= const. Поэтому ее можно вынести за знак интеграла. Равенство (1) примет вид
.
Так как площадь сферы не равна нулю, то E1 =0, т. е. напряженность поля во всех точках, удовлетворяющих условию r1<R1, будет равна нулю.
2. В области II сферическую поверхность проведем радиусом r2. Так как внутри этой поверхности находится, заряд Q1,тодля нее, согласно теореме Остроградского—Гаусса,можно записать равенство
. (2)
Так как En = E2 =const, то из условий симметрии следует
, или ES2 = Q1 /e0,
откуда
E2 = Q 1/(e0 S2).
Подставив сюда выражение площади сферы, получим
E2 = Q 1/(4 
). (3)
3. В области III сферическую поверхность проведем радиусом r3. Эта поверхность охватывает суммарный заряд Q1 + Q2. Следовательно, для нее уравнение, записанное на основетеоремыОстроградского — Гаусса, будет иметь вид
.
Отсюда, использовав положения, примененные в первых двух случаях, найдем
. (4)
Убедимся в том, что правые части равенств (3) и (4) дают единицу напряженности электрического поля
.
Выразим все величины в единицах СИ (Q1 =10-9 Кл, Q2 = –0,5·10-9 Кл, r2 =0,09 м, r3 =0,15м, l/(4pe 0)=9×109 м/Ф) и произведем вычисления:
4. Построим график E (r). В области I (r<R1) напряженность E =0. В области II (R1 
r<R2) напряженность E2 (r) изменяется по закону 1/ r2. В точке r=R1 напряженность E2 (R1)= Q1 /(4pe 0R 
)=2500 В/м. В точке r=R2 (r стремится к R2 слева) E2 (R2) =Q1 /(4pe 0R 
)=900В/м. В области III (r > R2) E3 (r) изменяется по закону 1/ r2, причем в точке r=R2 (r стремится к R2 справа)
Е3 (R2)=(Q1 – |Q2 |)/(4pe 0R )=450 В/м. Таким образом, функция Е (r) в точках r = R1 и r=R2 терпит разрыв. График зависимости Е (r)представлен на рис. 33.
Пример 11. Положительные заряды Q1 =3 мкКл и Q2 =20 нКл находятся в вакууме на расстоянии r1 =l,5 м друг от друга. Определить работу A, которую надо совершить, чтобы сблизить заряды до расстояния r2 =1 м.
Решение. Положим, что первый заряд Q1 остается неподвижным, а второй Q2 под действием внешних сил перемещается в поле, созданном зарядом Q1, приближаясь к нему с расстояния r1 =1,5 м до r2 =1 м.
