Произведя вычисления по этой формуле, найдем
Q =291 кДж.
Внутренняя энергия выражается формулой 
, следовательно, изменение внутренней энергии
.
После подстановки в эту формулу числовых значений величин и вычислений получим DU =208 кДж.
Работу расширения газа определим по формуле, выражающей первое начало термодинамики: Q=DU+A, откуда
A=Q – DU.
Подставив значения Q и DU, найдем
А =83 кДж.
Пример 8. Кислород занимает объем V 1=1 м3 и находится под давлением р 1=200 кПа. Газ нагрели сначала при постоянном давлении до объема V 2=3 м3, a затем при постоянном объеме до давления (рис 20) р 2=500 кПа. Построить график процесса и найти: 1) изменение DU внутренней энергии газа; 2) совершенную им работу A; 3) количество теплоты Q,переданное газу.
Решение. Построим график процесса (рис. 20). На графике точками 1, 2, 3 обозначены состояния газа, характеризуемые параметрами (р 1, V 1, T 1), (р 1, V 2, T 2),(р 2, V 2, T 3).
1. Изменение внутренней энергии газа при переходе его из состояния 1 в состояние 3 выражается формулой
DU=cvmDT,
где c v — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; m — масса газа; D T — разность температур, соответствующих конечному 3и начальному 1 состояниям, т. е. D T = T 3 – T 1. Так как 
;
где М — молярная масса газа, то
. (1)
Температуры T 1 и T 3 выразим из уравнения Менделеева — Клапейрона (
):
С учетом этого равенство (1) перепишем в виде
DU=(i/2)(p2V2 – p1V1).
Подставим сюда значения величин (учтем, что для кислорода, как двухатомного газа, i =5) и произведем вычисления:
DU=3,25 МДж.
2. Полная работа, совершаемая газом, равна A = A 1+ A 2, где A 1 — работа на участке 1—2; A 2 — работа на участке 2—3,
На участке 1—2 давление постоянно (p =const). Работа в этом случае выражается формулой A 1= p 1D V = p 1(V 2 – V 1). На участке 2—3 объем газа не изменяется и, следовательно, работа газа на этом участке равна нулю (A 2=0). Таким образом,
A=A1=p1(V2—V1).
Подставив в эту формулу значения физических величин, произведем вычисления:
A=0,4 МДж
3. Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты Q, переданное газу, равно сумме работы A, совершенной газом, и изменению D U внутренней энергии:
Q=A+DU, или Q =3,65 МДж.
Пример 9. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества 
=l моль, находится под давлением p 1=250кПа и занимает объем V 1==10 л. Сначала газ изохорно нагревают до температуры T 2=400 К. Далее, изотермически расширяя, доводят его до первоначального давления. После этого путем изобарного сжатия возвращают газ в начальное состояние. Определить термический КПД h цикла.
Решение. Для наглядности построим сначала график цикла, который состоит из изохоры, изотермы и изобары. В координатах р, V этот цикл имеет вид. представленный на рис. 21. Характерные точки цикла обозначим 1, 2, 3.
Термический КПД любого цикла определяется выражением
h=(Q1 – Q2)/Q1, или h =1 – Q2/Q1, (1)
где Q 1 — количество теплоты, полученное газом за цикл от нагревателя; Q 2 — количество теплоты, отданное газом за цикл охладителю.
Заметим, что разность количеств теплоты Q 1 – Q 2 равна работе A, совершаемой газом за цикл. Эта работа на графике в координатах р, V (рис. 21) изображается площадью цикла (площадь цикла заштрихована).
Рабочее вещество (газ) получает количество теплоты Q 1 на двух участках: Q 1-2 на участке 1—2 (изохорный процесс) и Q 2-3 на участке 2—3 (изотермический процесс). Таким образом,
Q1=Q1-2+Q2-3.
Количество теплоты, полученное газом при изохорном процессе, равно
Q1-2= C v (T 2 – T 1),
где C v — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме; — количество вещества. Температуру T 1 начального состояния газа найдем, воспользовавшись уравнением Клапейрона — Менделеева:
T1=p1V1/( R).
Подставив числовые значения и произведя вычисления, получим
.
Количество теплоты, полученное газом при изотермическом процессе, равно
Q 2-3= RT 2ln(V 2/ V 1),
где V 2 — объем, занимаемый газом при температуре T 2 и давлении p 1 (точка 3 на графике).
На участке 3—1 газ отдает количество теплоты Q 2, равное
Q 2= Q 3-1= Cp (T 2 – T 1),
где Cp — молярная теплоемкость газа при изобарном процессе.
Подставим найденные значения Q 1 и Q 2 в формулу (1):
В полученном выражении заменим отношение объемов V 2/ V 1, согласно закону Гей-Люссака, отношением температур (V 2/ V 1= T 2/ T 1) и зная C v и Cp для двухатомного газа [ C v=5 R /2, C p =7 R /2]. Тогда после сокращения на и R /2получим
.
Подставив значения T 1, T 2 и R и произведя вычисления, найдем
.
Пример 10. В цилиндре под поршнем находится водород массой m =0,02 кг при температуре T 1=300K. Водород начал расширяться адиабатно, увеличив свой объем в пять раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в пять раз. Найти температуру Т 2, в конце адиабатного расширения и работу А, совершенную газом. Изобразить процесс графически.
Решение. Температуры и объемы газа, совершающего адиабатный процесс, связаны между собой соотношением
,
где g — показатель адиабаты (для водорода как двухатомного газа g =1,4).
Отсюда получаем выражение для конечной температуры T 2:
.
Подставляя числовые значения заданных величин, находим
.
Работа A 1 газа при адиабатном расширении определяется по формуле
.
Подставив сюда числовые значения величин, после вычисления получим
.
Работа A 2 газа при изотермическом сжатии выражается формулой
A2=RT2(m/M)ln(V1/V2).
Произведя вычисления по этой формуле, найдем
A 2= – 21 кДж.
Знак минус показывает, что при сжатии газа работа совершена внешними силами.
Общая работа, совершенная газом при рассмотренных процессах, А = A 1+ A 2=29,8кДж + (–21 кДж) =8,8 кДж.
График процесса приведен на рис. 22.
Пример 11. Нагреватель тепловой машины, работающей по обратимому циклу Карно, имеет температуру t 1=200°С. Определить температуру Т 2, охладителя, если при получении от нагревателя количества теплоты Q 1= 1 Дж машина совершает работу A=0,4 Дж? Потери на трение и теплоотдачу не учитывать.
Решение. Температуру охладителя найдем, использовав выражение для термического КПД машины, работающей по циклу Карно, h =(T 1 – T 2)/ T 1. Отсюда
T 2 = T 1(1 – h). (1)
Термический КПД тепловой машины выражает отношение количества теплоты, которое превращено в механическую работу A, к количеству теплоты Q 1, которое получено рабочим телом тепловой машины из внешней среды (от нагревателя), т. е. h = A/Q 1. Подставив это выражение в формулу (1), найдем
T 2= T 1(1 – A/Q). (2)
Учтя, что T 1=473 К, после вычисления по формуле (2) получим T 2=284 К.
Пример 12. Найти изменение D S энтропии при нагревании воды массой m =100 г от температуры t 1=0°C до температуры t 2=100 °С и последующем превращении воды в пар той же температуры.
Решение. Найдем отдельно изменение энтропии D S ' при нагревании воды и изменение энтропии D S " при превращении ее в пар. Полное изменение энтропии выразится суммой D S ' и D S ".
Как известно, изменение энтропии выражается общей формулой
(1)
При бесконечно малом изменении dT температуры нагреваемого тела затрачивается количество теплоты 
, где m — масса тела; с — его удельная теплоемкость. Подставив выражение 
в равенство (1), найдем формулу для вычисления изменения энтропии при нагревании воды:
.
Вынесем за знак интеграла постоянные величины и произведем интегрирование, тогда получим
D S '= mc· ln(T 2/ T 1).
После вычислений найдем D S '=132 Дж/К.
При вычислении по формуле (1) изменения энтропии во время превращения воды в пар той же температуры постоянная температуpa T выносится за знак интеграла. Вычислив интеграл, найдем
(2)
где Q — количество теплоты, переданное при превращении нагретой воды в пар той же температуры.
Подставив в равенство (2) выражение количества теплоты Q=lm, где l — удельная теплота парообразования, получим
. (3)
Произведя вычисления по формуле (3), найдем
D S "=605 Дж/К.
Полное изменение энтропии при нагревании воды и последующем превращении ее в пар D S =D S '+D S "=737 Дж/К.
Пример 13. Определить изменение D S энтропии при изотермическом расширении кислорода массой m =10 г от объема V 1=25 л до объема V 2=100 л.
Решение. Так как процесс изотермический, то в общем выражении энтропии температуру выносят за знак интеграла. Выполнив это, получим
(1)
Количество теплоты Q, полученное газом, найдем по первому началу термодинамики: Q=DU+A. Для изотермического процесса DU =0, следовательно,
Q=A, (2)
а работа А для этого процесса определяется по формуле
A=(m/M)RT ln(V2/V1). (3)
С учетом (2) и (3) равенство (1) примет вид
D S = ( m / M) R ln(V 2/ V 1). (4)
Подставив в (4) числовые значения и произведя вычисления, получим
D S =(10×10-3/(32×10-3)) ×8,31 ln(100×10-3 / (25×10-3)) Дж/К=3,60 Дж/К.
Таблица вариантов
Контрольная работа № 2
| Вариант | Номера задач | |||||||
Задачи
1. В сосуд заливается вода со скоростью 0,5 л/с. Пренебрегая вязкостью воды, определить диаметр отверстия в сосуде, при котором вода поддерживалась бы на постоянном уровне h =20 см.
2. Вода течет в горизонтально расположенной трубе переменного сечения. Скорость воды в широкой части трубы 
20 см/с. Определить скорость в узкой части трубы, диаметр которой в 1,5 раза меньше диаметра широкой части.
3. В широкой части горизонтально расположенной трубы нефть течет со скоростью 2 м/с. Определить скорость нефти в узкой части трубы, если разность давлений в широкой и узкой частях ее равна 
6,65 кПа.
4. Струя воды диаметром 
2 см, движущаяся со скоростью 10 м/с ударяется о неподвижную плоскую поверхность, поставленную перпендикулярно струе. Найти силу давления струи на поверхность, считая, что после удара о поверхность скорость частиц воды равна нулю.
5. Струя воды с площадью поперечного сечения S1 =4 см2 вытекает в горизонтальном направлении из брандспойта, расположенного на расстоянии h =2 м над поверхностью Земли, и падает на эту поверхность на расстоянии l =8 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти избыточное давление воды в рукаве, если площадь поперечного сечения рукава S2 =50 см2.
6. Из брандспойта бьет струя воды, дающая 60 л за 1 мин. Площадь отверстия в брандспойте S1 =1,5 см2. На сколько больше атмосферного давления давление внутри шланга в том месте, которое на 3 м ниже конца брандспойта. Площадь канала шланга S2 =10 см2.
7. В сосуд льется вода, причем за единицу времени наливается объем воды 0,2 л/с. Каким должен быть диаметр отверстия в дне сосуда, чтобы вода в нем держалась на постоянном уровне h =8,3 см.
8. Какое давление создает компрессор в краскопульте, если струя жидкой краски вытекает из него со скоростью 25 м/с? Плотность краски 
800 кг/м3.
9. Какую силу необходимо приложить к поршню горизонтально расположенной спринцовки, чтобы вытекающая из нее струя воды имела скорость 10 м/с? Радиус поршня r =2 см. Трением пренебречь.
10. Определить скорость течения воды в широкой части горизонтально расположенной трубы переменного сечения, если радиус узкой части в 3 раза меньше радиуса широкой части, а разность давлений в широкой и узкой частях трубы 10 кПа.
11. Вода течет по круглой гладкой трубе диаметром d =5 см со средней по сечению скоростью 10 см/с. Определить число Рейнольдса для потока жидкости в трубе и указать характер течения жидкости.
12. По трубе течет машинное масло. Максимальная скорость, при которой движение масла в этой трубе остается еще ламинарным, равна 3,2 см/с. При какой скорости движение глицерина в той же трубе переходит из ламинарного в турбулентное?
13. Латунный шарик диаметром d =0,5 мм падает в глицерине. Определить: а) скорость установившегося движения шарика; б)является ли при этом значении скорости обтекание шарика ламинарным?
14. Смесь свинцовых дробинок (плотность 
11,3 г/см3) диаметром d1 =4 мм и d2 =2 мм одновременно опускают в широкий сосуд глубиной h =1,5 м с глицерином (плотность 
1,26 г/см3, коэффициент динамической вязкости 
1,48 Па∙с). Определить, на сколько больше времени потребуется дробинкам меньшего размера, чтобы достичь дна сосуда.
15. В широком сосуде, наполненном глицерином (плотность 1,26 г/см3, коэффициент динамической вязкости 1,48 Па∙с), падает свинцовый шарик (плотность 11,3 г/см3). Считая, что при числе Рейнольдса Re<0,5 выполняется закон Стокса, определить предельный размер шарика.
16. Какой наибольшей скорости может достичь дождевая капля диаметром d =0,3 мм, если коэффициент динамической вязкости воздуха 1,2∙10-4 г/(см∙с)?
17. При движении шарика радиусом r =3 мм в глицерине ламинарное обтекание наблюдается при скорости шарика, не превышающей 23 см/с. При какой минимальной скорости шара радиусом r =5,5 мм в воде обтекание примет турбулентный характер? Коэффициенты динамической вязкости глицерина и воды равны соответственно 
1,48 Па∙с и 
10-3 Па∙с.
18. Площадь соприкосновения слоев текущей жидкости S=10 см2, коэффициент динамической вязкости жидкости 10-3 Па∙с, а возникающая сила трения между слоями F =0,1 мН. Определить градиент скорости.
19. Вычислить максимальное значение скорости потока воды в трубе диаметром d1 =2 см, при котором течение будет оставаться ламинарным. Критическое значение числа Рейнольдса для трубы приблизительно равно Re=3000. Каково соответствующее значение скорости для трубки диаметром d2 =0,1 см?
20. Медный шарик диаметром d =1 см падает с постоянной скоростью в касторовом масле. Является ли движение масла, вызванное падением в нем шарика, ламинарным? Критическое значение числа Рейнольдса Re=0,5.
21. Свинцовая проволока подвешена в вертикальном положении за верхний конец. Какую наибольшую длину может иметь проволока, не обрываясь под действием силы тяжести? Предел прочности свинца равен 
12,3 МПа. 
22. К вертикальной проволоке длиной l =5 м и площадью поперечного сечения S=2 мм2 подвешен груз массой 5,1 кг. В результате проволока удлинилась на 
0,6 мм. Найти модуль Юнга материала проволоки.
23. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть на 1 мм стальной стержень длиной l =1 м и площадью поперечного сечения S =1 см2?
24. Резиновый шнур растянут так, что его длина увеличилась в 2 раза. Каков диаметр растянутого шнура, если до растяжения он был d =1 см, а коэффициент Пуассона для резины 
0,5?
25. Определить относительное изменение объема стальной проволоки диаметром d =2 мм при растяжении ее силой F =1 кН. Коэффициент Пуассона равен 0,3.
26. При какой длине подвешенная вертикально стальная проволока начинает рваться под действием собственного веса? Предел прочности стали 0,69 ГПа.
27. Определить относительное удлинение медного стержня, если при его растяжении затрачена работа А =0,12 Дж. Длина стержня l =2 м, площадь поперечного сечения S =1 мм2.
28. Определить силу, с которой гимнаст массой m =60 кг действует на упругую сетку при прыжке с высоты h =8 м, если под действием веса гимнаста сетка прогибается на 
16 см.
29. К проволоке из углеродистой стали длиной l =1,5 м и диаметром d =2,1 мм подвешен груз массой 110 кг. Принимая для стали модуль Юнга Е =216 ГПа и предел пропорциональности равный 
330 МПа, определить: а) какую долю первоначальной длины составляет удлинение проволоки при этом грузе; б) превышает приложенное напряжение или нет предел пропорциональности.
30. Определить относительное удлинение алюминиевого стержня, если при его растяжении затрачена работа А =6,9 Дж. Длина стержня l =1 м, площадь поперечного сечения S =1 мм2, модуль Юнга для алюминия Е =69 ГПа.
31. В баллоне объемом V =0,25 м3 находится смесь кислорода и гелия. Число молекул кислорода N1 =6,6∙1021, а число молекул гелия N2 =0,9∙1021. Температура смеси Т =620 К. Определить давление смеси Р.
32. В баллоне объемом V находится смесь кислорода и гелия. Число молекул кислорода N1, а число молекул гелия N2 =1,2∙1021. Температура смеси Т =530 К, давление смеси Р =250 Па, среднее значение молярной массы смеси 
22 кг/кмоль. Определить объем V.
33. В баллоне объемом V =0,15 м3 находится смесь кислорода и гелия. Число молекул кислорода N1 =5,1∙1021, а число молекул гелия N2. Давление смеси Р =460 Па, среднее значение молярной массы смеси 13 кг/кмоль. Определить температуру смеси.
34. В сосуде объемом V =5,6 л находится смесь двух газов: газ с молярной массой 
32 г/моль в количестве m1 =23 г и газ с молярной массой 
4 г/моль в количестве m2 =15 г. Давление в сосуде равно Р =1,2 МПа. Определить температуру Т в сосуде.
35. В сосуде объемом V находится смесь двух газов: газ с молярной массой 2 г/моль в количестве m1 =1,1 г и газ с молярной массой 4 г/моль в количестве m2 =2,9 г. Давление в сосуде равно p =0,53 МПа. Температура смеси t =75 0C. Определить объем V сосуда.
