По найденному значению φ построим векторную диаграмму (рис. 14).
Пример 22. Материальная точка массой m =5 г совершает гармонические колебания с частотой ν =0,5 Гц. Амплитуда колебаний A =3 см. Определить: 1) скорость v точки в момент времени, когда смещение х = 1,5 см; 2) максимальную силу F max, действующую на точку; 3) полную энергию 
колеблющейся точки.
Решение. 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид:
, (1)
а формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от смещения:
(2)
Чтобы выразить скорость через смещение, надо исключить из формул (1) и (2) время. Для этого возведем оба уравнения в квадрат, разделим первое на 
, второе на 
и сложим:
или 
.
Решив последнее уравнение относительно 
, найдем
.
Выполнив вычисления по этой формуле, получим
см/с.
Знак плюс соответствует случаю, когда направление скорости совпадает с положительным направлением оси х, знак минус — когда направление скорости совпадает с отрицательным направлением оси х.
Смещение при гармоническом колебании кроме уравнения (1) может быть определено также уравнением:
.
Повторив с этим уравнением такое же решение, получим тот же ответ.
2. Силу, действующую на точку, найдем по второму закону Ньютона:
(3)
где а — ускорение точки, которое получим, взяв производную по времени от скорости:
, или 
Подставив выражение ускорения в формулу (3), получим:
.
Отсюда максимальное значение силы:
.
Подставив в это уравнение значения величин π, ν, m и A, найдем:
мН.
3. Полная энергия колеблющейся точки есть сумма кинетической и потенциальной энергий, вычисленных для любого момента времени.
Проще всего вычислить полную энергию в момент, когда кинетическая энергия достигает максимального значения. В этот момент потенциальная энергия равна нулю. Поэтому полная энергия колеблющейся точки равна максимальной кинетической энергии 
max:
(4)
Максимальную скорость определим из формулы (2), положив 
; 
. Подставив выражение скорости в формулу (4), найдем
Подставив значения величин в эту формулу и произведя вычисления, получим
Дж = 22,1·10-6Дж или =22,1 мкДж.
Пример 23. На концах тонкого стержня длиной l = 1 м и массой m 3=400 г укреплены шарики малых размеров массами m 1=200 г и m 2=300г. Стержень колеблется около горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину (точка О на рис. 15). Определить период Т колебаний, совершаемых стержнем.
Решение. Период колебаний физического маятника, каким является стержень с шариками, определяется соотношением
(1)
где J — момент инерции маятника относительно оси колебаний; m – его масса; l С — расстояние от центра масс маятника до оси.
Момент инерции данного маятника равен сумме моментов инерции шариков J 1 и J 2 и стержня J 3:
(2)
Принимая шарики за материальные точки, выразим моменты их инерции: 
; 
.
Так как ось проходит через середину стержня, то его момент инерции относительно этой оси 
. Подставив полученные выражения J 1, J 2 и J 3 в формулу (2), найдем общий момент инерции физического маятника:
.
Произведя вычисления по этой формуле, найдем 
кг·м2.
Масса маятника состоит из масс шариков и массы стержня:
=0,9 кг.
Расстояние l С центра масс маятника от оси колебаний найдем, исходя из следующих соображений. Если ось х направить вдоль стержня и начало координат совместить с точкой О, то искомое расстояние l равно координате центра масс маятника, т. е.
.
Подставив значения величин m 1, m 2, m, l и произведя вычисления, найдем:
см.
Произведя расчеты по формуле (1), получим период колебаний физического маятника:
с = 11,2 с.
Пример 24. Складываются два колебания одинакового направления, выражаемых уравнениями 
; 
, где А 1 = 1см, A 2=2 см, 
с, 
с, ω = 
с-1. 1. Определить начальные фазы φ 1 и φ 2 составляющих колебаний. 2. Найти амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания.
Решение. 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид
(1)
Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же виду:
, 
(2)
Из сравнения выражений (2) с равенством (1) находим начальные фазы первого и второго колебаний:
рад и 
рад.
2. Для определения амплитуды А результирующего колебания удобно воспользоваться векторной диаграммой, представленной на рис. 16. Согласно теореме косинусов, получим
, (3)
где 
— разность фаз составляющих колебаний. Так как 
, то, подставляя найденные значения φ 2 и φ 1 получим 
рад.
Подставим значения А 1, А 2и в формулу (3) и произведем вычисления:
A= 2,65 см.
Тангенс начальной фазы φ результирующего колебания определим непосредственно из рис. 16: 
, откуда начальная фаза
.
Подставим значения А 1, А 2, φ 1, φ 2 и произведем вычисления:
рад.
Так как угловые частоты складываемых колебаний одинаковы, то результирующее колебание будет иметь ту же частоту ω. Это позволяет написать уравнение результирующего колебания в виде , где A =2,65 см, ω = с-1, 
рад.
Пример 25. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых
, (1)
, (2)
где А 1 = 1 см, A 2=2 см, ω = с-1. Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.
Решение. Чтобы найти уравнение траектории точки, исключим время t из заданных уравнений (1) и (2). Для этого воспользуемся формулой 
. В данном случае 
, поэтому 
Так как согласно формуле (1) 
, то уравнение траектории
(3)
Полученное выражение представляет собой уравнение параболы, ось которой совпадает с осью Ох. Из уравнений (1) и (2) следует, что смещение точки по осям координат ограничено и заключено в пределах от – 1 до +1 см по оси Ох и от – 2 до +2 см по оси Оу.
Для построения траектории найдем по уравнению (3) значения у, соответствующие ряду значений х, удовлетворяющих условию 
см, и составим таблицу:
| x,см | – 1 | – 0,75 | – 0,5 | +0,5 | + 1 | |
| у,см | ±0,707 | ±1 | ±1,41 | ±1,73 | ±2 |
Начертив координатные оси и выбрав масштаб, нанесем на плоскость хОу найденные точки. Соединив их плавной кривой, получим траекторию точки, совершающей колебания в соответствии с уравнениями движения (1) и (2) (рис. 17).
Для того чтобы указать направление движения точки, проследим за тем, как изменяется ее положение с течением времени. В начальный момент t =0 координаты точки равны x (0)=1 см и y (0)=2 см. В последующий момент времени, например при t 1=l с, координаты точек изменятся и станут равными х (1)= – 1 см, y (1) = 0. Зная положения точек в начальный и последующий (близкий) моменты времени, можно указать направление движения точки по траектории. На рис. 17 это направление движения указано стрелкой (от точки А к началу координат). После того как в момент t 2 = 2 с колеблющаяся точка достигнет точки D, она будет двигаться в обратном направлении.
Пример 26. Космический корабль движется со скоростью =0,9 с по направлению к центру Земли. Какое расстояние l пройдет этот корабль в системе отсчета, связанной с Землей (K -система), за интервал времени Δ t 0=1 с, отсчитанный по часам, находящимся в космическом корабле (K '-система)? Суточным вращением Земли и ее орбитальным движением вокруг Солнца пренебречь.
Решение. Расстояние l, которое пройдет космический корабль в системе отсчета, связанной с Землей (K -система), определим по формуле
(1)
где 
— интервал времени, отсчитанный в K -системе отсчета. Этот интервал времени связан с интервалом времени, отсчитанным в K '-системе, соотношением 
.
Подставив выражение в формулу (1), получим:
После вычислений найдем:
l =619 Мм.
|
Пример 27. В лабораторной системе отсчета (K -система) движется стержень со скоростью =0,8 с. По измерениям, произведенным в K -системе, его длина l оказалась равной 10 м, а угол φ, который он составляет с осью х, оказался равным 30°. Определить собственную длину l 0 стержня в K '-системе, связанной со стержнем, и угол φ 0, который он составляет с осью х' (рис. 18)
Решение. Пусть в K '-системе стержень лежит в плоскости х'О'у'. Из (рис. 18, а) следует, что собственная длина l 0 стержня и угол φ 0, который он составляет с осью х', выразятся равенствами
(1)
В K -системе те же величины окажутся равными (рис. 18, б)
(2)
Заметим, что при переходе от системы К' к К размеры стержня в направлении оси у не изменятся, а в направлении оси х претерпят релятивистское (лоренцево) сокращение, т. е.
, 
(3)
С учетом последних соотношений собственная длина стержня выразится равенством
или
Заменив в этом выражении 
на 
(рис. 18, б), получим
Подставив значения величин 
в это выражение и произведя вычисления, найдем
l 0=15,3 м.
Для определения угла 
воспользуемся соотношениями (1), (2) и (3):
, или 
откуда
.
Подставив значения φ и β в это выражение и произведя вычисления, получим
.
Пример 28. Кинетическая энергия Т электрона равна 1 МэВ. Определить скорость электрона.
Решение. Релятивистская формула кинетической энергии
Выполнив относительно β преобразования, найдем скорость частицы, выраженную в долях скорости света (
):
(1)
где E 0= 
=0,511 МэВ — энергия покоя электрона.
Вычисления по этой формуле можно производить в любых единицах энергии, так как наименования единиц в правой части формул сократятся и в результате подсчета будет получено отвлеченное число.
Подставив числовые значения Е 0и Т в мегаэлектрон-вольтах, получим
β =0,941.
Так как 
, то
м/с.
Чтобы определить, является ли частица с кинетической энергией Т релятивистской или классической, достаточно сравнить кинетическую энергию частицы с ее энергией покоя.
Если 
, частицу можно считать классической. В этом случае релятивистская формула (1) переходит в классическую:
, или 
.
Пример 29. Определить релятивистский импульс р и кинетическую энергию Т электрона, движущегося со скоростью 
(где с — скорость света в вакууме).
Решение. Релятивистский импульс
(1)
После вычисления по формуле (1) получим
кг·м/с.
В релятивистской механике кинетическая энергия Т частицы
. (2)
Сделав вычисления, найдем
T =106 фДж.
Во внесистемных единицах энергия покоя электрона =0, 5 11 МэВ. Подставив это значение в формулу (2), получим
Т =0,66 МэВ.
Пример 30. Релятивистская частица с кинетической энергией 
(m – масса частицы) испытывает неупругое столкновение с такой же покоящейся (в лабораторной системе отсчета) частицей. При этом образуется составная частица. Определить: 1) массу 
составной частицы; 2) ее кинетическую энергию Т'.
Решение. 1. Для того чтобы найти массу составной частицы, воспользуемся инвариантностью величины
. (1)
До столкновения (в лабораторной системе отсчета):
полная энергия частиц 
,
импульс частиц 
,
.
После столкновения (в системе отсчета связанной с составной частицей):
энергия и импульс составной частицы 
,
.
В силу инвариантности величины (1) 
.
Тогда масса составной частицы:
.
2. Скорость составной частицы (равна скорости центра масс частиц до столкновения) 
.
Кинетическая энергия составной релятивистской частицы:
.
Таблица вариантов
Контрольная работа № 1
| Вариант | Номера задач | |||||||
Задачи
1. Два тела бросили одновременно из одной точки: одно – вертикально вверх, другое – под углом 600 к горизонту. Начальная скорость каждого тела 25 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти расстояние между телами через 1,7 с.
2. Две частицы движутся с ускорением g в однородном поле силы тяжести. В начальный момент частицы находились в одной точке и имели скорости 3 м/с и 4 м/с, направленные горизонтально и в противоположные стороны. Найти расстояние между частицами в момент, когда векторы их скоростей окажутся взаимно перпендикулярными.
3. Кабина лифта, у которой расстояние от пола до потолка равно 2,7 м, начала подниматься с постоянным ускорением 1,2 м/с2. Через 2 с после начала подъема с потолка кабины стал падать болт. Найти: а) время свободного падения болта; б) перемещение и путь болта за время свободного падения в системе отсчета, связанной с шахтой лифта.
4. В момент времени t= 0 частица вышла из начала координат в противоположном направлении оси x. Ее скорость меняется по закону 
, где 
- вектор начальной скорости, модуль которого 
см/с, Т =5 с. Найти: а) координату х частицы в моменты времени 6 с, 10 с и 20 с; б) момент времени, когда частица будет находиться на расстоянии 10 см от начала координат; в) путь S, пройденный частицей за первые 4 и 8 с; изобразить примерный график S(t).
5. Материальная точка движется прямолинейно с ускорением а =5 м/с2. Определить на сколько путь, пройденный точкой в n -ю секунду, будет больше пути, пройденного в предыдущую секунду. Принять 
.
6. Велосипедист ехал из одного пункта в другой. Первую треть пути он проехал со скоростью 
км/ч. Далее половину оставшегося времени он ехал со скоростью 
км/ч, после чего до конечного пункта он шел пешком со скоростью 
км/ч. Определить среднюю скорость велосипедиста.
7. Тело брошено с начальной скоростью с высоты h =2,4 м вверх под углом 
=350 к горизонту и упало на расстоянии l =37 м от места бросания. Найти начальную скорость тела.
8. Тело брошено с вышки в горизонтальном направлении со скоростью 20 м/с. Определить скорость тела и ее направление в конце второй секунды после начала движения.
9. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону 
, где а =6 рад/с, b =2 рад/с3. Найти: а)средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от начала вращения до остановки; б) угловое ускорение в момент остановки тела.
10. Точка движется по окружности радиусом R = 30 см с постоянным угловым ускорением. Определить тангенциальное ускорение 
точки, если известно, что за время 4 с она совершила три оборота и в конце третьего оборота ее нормальное ускорение 
=2,7 м/с2.
