и связано с угловым ускорением 
вала соотношением:
, (1)
где r — радиус вала.
Угловое ускорение вала выражается основным уравнением динамики вращающегося тела:
, (2)
|
где М — вращающий момент, действующий на вал; J — момент инерции вала. Рассматриваем вал как однородный цилиндр. Тогда его момент инерции относительно геометрической оси равен
J= 1/2 m 1 r 2.
Вращающий момент М, действующий на вал, равен произведению силы натяжения Т шнура на радиус вала: М=Тr.
Силу натяжения шнура найдем из следующих соображений. На гирю действуют две силы: сила тяжести 
, направленная вниз, и сила натяжения 
шнура, направленная вверх. Равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное движение гири. По второму закону Ньютона, m 2 g – T=m2a, откуда T=m2 (g – а). Таким образом, вращающий момент M=m 2(g—а) r.
Подставив в формулу (2) полученные выражения М и J, найдем угловое ускорение вала:
Для определения линейного ускорения гири подставим это выражение в формулу (1). Получим
,
откуда
.
Пример 15. Через блок в виде диска, имеющий массу m =80 г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами m 1=100 г и m 2=200 г (рис. 11). С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением пренебречь.
Решение. Применим к решению задачи основные законы поступательного и вращательного движения. На каждый из движущихся грузов действуют две силы: сила тяжести 
, направленная вниз, и сила натяжения нити, направленная вверх.
Так как вектор ускорения 
груза m 1 направлен вверх, то T 1> m 1 g. Равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное движение и, по второму закону Ньютона, равна T 1 – т 1 g=т 1 а, откуда:
T 1 =m 1 g+m 1 a. (1)
Вектор ускорения груза т 2 направлен вниз; следовательно, T 2< m 2 g. Запишем формулу второго закона для этого груза:
m 2 g – T 2 =m2a, откуда
T 2 =m2g – m2а. (2)
Согласно основному закону динамики вращательного движения, вращающий момент М, приложенный к диску,равен произведению момента инерции J диска на его угловое ускорение :
M=J . (3)
Определим вращающий момент. Силы натяжения нитей действуют не только на грузы, но и на диск. По третьему закону Ньютона, силы 
и 
, приложенные к ободу диска, равны соответственно силам T 1 и Т 2, но по направлению им противоположны. При движении грузов диск ускоренно вращается по часовой стрелке; следовательно, > . Вращающий момент, приложенный к диску, равен произведению разности этих сил на плечо, равное радиусу диска, т. е. M =( – ) r. Момент инерции диска J=mr 2/2, угловое ускорение связано с линейным ускорением грузов соотношением 
. Подставив в формулу (3) выражения М, J и , получим
( – ) r = 
откуда
– =(т /2) а.
Так как =T 1 и = Т 2, то можно заменить силы и выражениями по формулам (1) и (2), тогда:
m2g – m2a – m1g – m1a= (m/2) a, или(m2—m1) g= (m2+m1+m /2) a
откуда:
(4)
Отношение масс в правой части формулы (4) есть величина безразмерная. Поэтому значения масс m 1, m 2 и m можно выразить в граммах, как они даны в условии задачи. После подстановки получим:
Пример 16. Маховик в виде диска массой m =50 кг и радиусом r =20 см был раскручен до частоты вращения 
1=480 мин-1 и затем предоставлен самому себе. Вследствие трения маховик остановился. Найти момент М сил трения, считая его постоянным для двух случаев: 1) маховик остановился через t =50 с; 2) маховик до полной остановки сделал N= 200 оборотов.
Решение. 1.По второму закону динамики вращательного движения, изменение момента импульса вращающегося тела равно произведению момента силы, действующего на тело, на время действия этого момента:
M 
t=J 
— J 
,
где J — момент инерции маховика; 
и — начальная и конечная угловые скорости. Так как =0 и 
t = t, то Mt= – J , откуда:
M = – J /t. (1)
Момент инерции диска относительно его геометрической оси равен J=1/2mr2. Подставив это выражение в формулу (1), найдем
M= – mr2 / (2 t). (2)
Выразив угловую скорость через частоту вращения 1 и произведя вычисления по формуле (2), найдем:
М= – 1 Н·м.
2. В условии задачи дано число оборотов, сделанных маховиком до остановки, т. е. его угловое перемещение. Поэтому применим формулу, выражающую связь работы с изменением кинетической энергии:
или, учтя, что 
,
(3)
Работа при вращательном движении определяется по формуле A=Mj. Подставив выражения работы и момента инерции диска в формулу (3), получим:
M 
= – mr 2 
/4.
Отсюда момент силы трения:
М= – mr 2 /4 . (4)
Угол поворота j= 2 
N =2·3,14·200 рад=1256 рад. Произведя вычисления по формуле (4), получим:
М= – 1 Н·м.
Знак минус показывает, что момент силы трения оказывает тормозящее действие.
Пример 17. Платформа в виде диска радиусом R = 1,5 м и массой m 1 = 180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой =10 мин-1. В центре платформы стоит человек массой т 2=60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?
Решение. По закону сохранения момента импульса,
(1)
где J 1 — момент инерции платформы; J 2 — момент инерции человека, стоящего в центре платформы; 
— угловая скорость платформы с человеком, стоящим в ее центре; J2' — момент инерции человека, стоящего на краю платформы; 
— угловая скорость платформы с человеком, стоящим на ее краю.
Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, связана с угловой скоростью соотношением:
. (2)
Определив из уравнения (1) и подставив полученное выражение в формулу (2), будем иметь:
v= (J 1 +J 2) R /(J 1 +J' 2). (3)
Момент инерции платформы рассчитываем как для диска; следовательно, J 1= 112m 1 R2. Момент инерции человека рассчитываем как для материальной точки. Поэтому J 2=0, J' 2 =m 2 R 2. Угловая скорость платформы до перехода человека равна 
.
Заменив в формуле (3) величины J 1, J 2, J' 2. и их выражениями, получим:
Сделав подстановку значений т 1, т 2, , R и 
, найдем линейную скорость человека:
Пример 18. Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается по инерции. Частота вращения 1=0,5 c-1. Момент инерции jo тела человека относительно оси вращения равен 1,6 кг·м2. В вытянутых в стороны руках человек держит по гире массой m =2 кг каждая. Расстояние между гирями l 1=l,6 м. Определить частоту вращения 2, скамьи с человеком, когда он опустит руки и расстояние l 2 между гирями станет равным 0,4 м. Моментом инерции скамьи пренебречь.
Решение. Человек, держащий гири (рис. 12), составляет вместе со скамьей замкнутую механическую систему, поэтому момент импульса J этой системы должен иметь постоянное значение. Следовательно, для данного случая
J1 = J2 
,
где J и — момент инерции тела человека и угловая скорость скамьи и человека с вытянутыми руками; J 2 и — момент инерции тела человека и угловая скорость скамьи и человека с опущенными руками. Отсюда:
= (J 1/ J 2) .
Выразив в этом уравнении угловые скорости и через частоты вращения 1 и 2 ( =2 ) и сократив на 2 , получим:
2=(J1/J2) 1. (1)
Момент инерции системы, рассматриваемой в данной задаче, равен сумме момента инерции тела человека J0 и момента инерции гирь в руках человека. Так как размер гирь много меньше расстояния их от оси вращения, то момент инерции гирь можно определить по формуле момента инерции материальной точки: J=mr2. Следовательно,
J 1= J 0+2 m (l 1/2)2;
|
где т — масса каждой из гирь; l 1 и l 2. — первоначальное и конечное расстояние между гирями. Подставив выражения J 1 и J 2 в уравнение (1), получим:
. (2)
Выполнив вычисления по формуле (2), найдем
2=1,18 с-1.
Пример 19. Стержень длиной l =1,5 м и массой М= 10 кг может вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через верхний конец стержня (рис. 13). В середину стержня ударяет пуля массой m =10 г, летящая в горизонтальном направлении со скоростью vo =500 м/с, и застревает в стержне. На какой угол отклонится стержень после удара?
Решение. Удар пули следует рассматривать как неупругий: после удара и пуля, и соответствующая точка стержня будут двигаться с одинаковыми скоростями.
Рассмотрим подробнее явления, происходящие при ударе. Сначала пуля, ударившись о стержень, за ничтожно малый промежуток времени приводит его в движение с угловой скоростью и сообщает ему кинетическую энергию
(1)
где 
— момент инерции стержня относительно оси вращения.
Затем стержень поворачивается на искомый угол , причем центр масс его поднимается на высоту 
. В отклоненном положении стержень будет обладать потенциальной энергией
(2)
Потенциальная энергия получена за счет кинетической энергии и равна ей по закону сохранения энергии. Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим
Отсюда
.
Подставив в эту формулу выражение для момента инерции стержня 
, получим
(3)
Чтобы из выражения (3) найти , необходимо предварительно определить значение . В момент удара на пулю и на стержень действуют силы тяжести, линии действия которых проходят через ось вращения и направлены вертикально вниз. Моменты этих сил относительно оси вращения равны нулю. Поэтому при ударе пули о стержень будет справедлив закон сохранения момента импульса. В начальный момент удара угловая скорость стержня 
, поэтому его момент импульса 
. Пуля коснулась стержня и начала углубляться в стержень, сообщая ему угловое ускорение и участвуя во вращении стержня около оси. Начальный момент импульса пули 
, где 
— расстояние точки попадания от оси вращения. В конечный момент удара стержень имел угловую скорость , а пуля — линейную скорость 
, равную линейной скорости точек стержня, находящихся на расстоянии от оси вращения. Так как 
, то конечный момент импульса пули 
.
Применив закон сохранения импульса, можем написать:
, или 
,
откуда:
, (4)
где — момент инерции стержня.
Если учесть, что в (4) 
, а также что 
, то после несложных преобразований получим:
(5)
Подставив числовые значения величин в (5), найдем
рад = 0,5 рад.
По (3) получим:
Следовательно, =9°20'
Пример 20. Из пружинного пистолета был произведен выстрел вертикально вверх. Определить высоту h, на которую поднимается пуля массой m = 20 г, если пружина жесткостью k = 196 Н/м была сжата перед выстрелом на х = 10 см. Массой пружины пренебречь.
Решение. Система пуля — Земля (вместе с пистолетом) является замкнутой системой, в которой действуют консервативные силы — силы упругости и силы тяготения. Поэтому для решения задачи можно применить закон сохранения энергии в механике. Согласно этому закону, полная механическая энергия 
системы в начальном состоянии (в данном случае перед выстрелом) равна полной энергии 
в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту h), т. е.
= , или 
, (1)
где 
и 
— кинетические энергии системы в начальном и конечном состояниях; 
и 
— потенциальные энергии в тех же состояниях.
Так как кинетические энергии пули в начальном и конечном состояниях равны нулю, то равенство (1) примет вид
= . (2)
Если потенциальную энергию в поле тяготения Земли на ее поверхность принять равной нулю, то энергия системы в начальном состоянии равна потенциальной энергии сжатой пружины, т. е.
, а в конечном состоянии — потенциальной энергий пули на высоте 
, т. е. 
.
Подставив приведенные выражения и в формулу (2), найдем
; 
.
Произведя вычисления по последней формуле, получим h= 5 м.
Пример 21. Точка совершает колебания по закону 
, где А =2 см. Определить начальную фазу φ, если
x (0)= 
см и 
(0)<0. Построить векторную диаграмму для момента t =0.
Решение. Воспользуемся уравнением движения и выразим смещение в момент t =0 через начальную фазу:
.
Отсюда найдем начальную фазу:
.
Подставим в это выражение заданные значения x (0) и А: 
. Значению аргумента 
удовлетворяют два значения угла:
и 
.
Для того чтобы решить, какое из этих значений угла φ удовлетворяет еще и условию 
, найдем сначала 
:
.
Подставив в это выражение значение t =0 и поочередно значения начальных фаз и , найдем:
; 
.
Так как всегда A >0 и ω >0, то условию удовлетворяет только первое значение начальной фазы. Таким образом, искомая начальная фаза .
