.
Спроецируем все силы на ось z и напишем соответствующее равенство для проекций этих сил (индекс z опустим):
N – P – ma= 0,
откуда сила реакции опоры:
N=P+ma=m (g+a). (3)
Из равенств (1) и (3) следует
G=m (g+a),
что совпадает с результатом, полученным при решении в инерциальной системе отсчета.
Пример 6. При падении тела с большой высоты его скорость v уст установившемся движении достигает 80 м/с. Определить время 
, в течение которого, начиная от момента начала падения, скорость становится равной 1/2 v уст. Силу сопротивления воздуха принять пропорциональной скорости тела.
Решение. На падающее тело действуют две силы (рис. 4, а):
сила тяжести 
и сила сопротивления воздуха 
.
Сила сопротивления воздуха по условиям задачи пропорциональна скорости тела и противоположна ей по направлению:
, (1)
где k — коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров, формы тела и от свойств окружающей среды.
Напишем уравнение движения тела в соответствии со вторым законом Ньютона в векторной форме: 
. Заменив согласно (1), получим:
Спроецируем все векторные величины на вертикально направленную ось и напишем уравнение для проекций:
После разделения переменных получим:
.
Выполним интегрирование, учитывая, что при изменении времени от нуля до (искомое время) скорость возрастает от нуля до 1/2 v уст (рис. 4, б):
Подставим пределы интегрирования в левую часть равенства: 
и найдем из полученного выражения искомое время:
(2)
Входящий сюда коэффициент пропорциональности k определим из следующих соображений. При установившемся движении (скорость постоянна) алгебраическая сумма проекций (на ось y) сил, действующих на тело, равна нулю, т. е. mg–kv уст = 0, откуда k=mg/v уст. Подставим найденное значение k в формулу (2):
После сокращений и упрощений получим:
Проверка размерности в данном случае не обязательна, так как результат очевиден. Подставив в эту формулу значения v уст, g, ln2 и произведя вычисления, получим:
=5,66 с.
Пример 7. Шар массой m =0,3 кг, двигаясь со скоростью v =10 м/с, упруго ударяется о гладкую неподвижную стенку так, что скорость его направлена под углом 
=30° к нормали. Определить импульс р, получаемый стенкой.
|
Решение. Сначала проанализируем условие задачи. Стенка неподвижна, поэтому система отсчета, связанная с ней, будет инерциальной. Удар о стенку упругий; следовательно, можно воспользоваться законом сохранения механической энергии. Из него, учитывая, что масса стенки много больше массы шара, следует равенство модулей скоростей шара | 
| до и | 
| после удара.
Покажем, что угол ' отражения шара от стенки равен углу падения шара. Спроецируем векторы и на координатные оси Ох и Оу (рис. 5). Так как стенка гладкая, то 
. Учитывая, кроме того, что | |=| |, получим 
а отсюда следует равенство углов падения и отражения ( '= ).
Для определения импульса, полученного стенкой, воспользуемся законом сохранения импульса. Для нашего случая этот закон можно записать в виде:
где 
– импульсы шара до и после удара 
. Отсюда импульс, полученный стенкой,
Из рис. 6 видно, что вектор 
сонаправлен с осью Ох и его модуль 
. Подставив сюда выражение импульса p 1 =mv, получим
.
Произведем вычисления:
.
Пример 8. На спокойной воде пруда стоит лодка длиной L и массой М перпендикулярно берегу, обращенная к нему носом. На корме стоит человек массой т. На какое расстояние s приблизится лодка к берегу, если человек перейдет с кормы на нос лодки? Трением о воду и воздух пренебречь.
Решение. 1-й способ. Для простоты решения будем считать, что человек идет по лодке с постоянной скоростью. Лодка в этом случае также будет двигаться равномерно. Поэтому перемещение лодки относительно берега определим по формуле:
s= vt (1)
где v — скорость лодки относительно берега; t — время движения человека и лодки. Направление перемещения человека примем за положительное.
Скорость v лодки найдем, пользуясь законом сохранения импульса (количества движения). Так как, по условию задачи, система человек — лодка в начальный момент была относительно берега в покое, то по закону сохранения импульса получим Mv – mu =0, где и — скорость человека относительно берега; знак минус указывает на то, что скорости человека и лодки по направлению противоположны. Отсюда v=mu/M.
Время t движения лодки равно времени перемещения человека по лодке, т. е. t=s1/u=(L—s)/u, где s1 — перемещение человека относительно берега.
Подставив полученные выражения v и t в формулу (1), найдем:
откуда:
s=mL/ (m+M).
Заметим, что предположение о равномерности движения человека не является обязательным. В приведенном ниже более общем способе решения задачи такое предположение не используется.
2-й способ. Согласно следствию из закона сохранения импульса, внутренние силы системы тел не могут изменить положение центра инерции системы. Применяя это следствие к системе человек — лодка, можно считать, что при перемещении человека по лодке центр масс системы не изменит своего положения, т. е. останется на прежнем расстоянии от берега.
Пусть центр масс системы человек — лодка находится на вертикали, проходящей в начальный момент через точку C 1 лодки (рис. 7), а после перемещения лодки — через другую ее точку С 2. Так как эта вертикаль неподвижна относительно берега, то искомое перемещение s лодки относительно берега равно перемещению лодки относительно вертикали. А это последнее легко определить по перемещению центра масс О лодки. Как видно из рис. 7, в начальный момент точка О находится слева от вертикали на расстоянии a 1, а после перехода человека — на расстоянии a 2 справа от нее. Следовательно, искомое перемещение лодки s=a 1 +a 2. (2)
Для определения a 1 и a 2 воспользуемся тем, что относительно центра тяжести системы моменты сил тяжести лодки и человека должны быть равны. Для точки C 1 имеем Mga1=mg (l – a1), где l — первоначальное расстояние человека от центра тяжести лодки. Отсюда получим а1=тl/ (М+т). Для точки С 2 имеем Mga2=mg (L–a2–l), откуда a2=m (L–l) / (М+т).
Подставив выражения a 1 и а 2 в формулу (2), получим:
s=mL/ (M+m),
что совпадает с результатом, полученным первым способом.
Пример 9. Два шара массами m 1=2,5 кг и m 2=1,5 кг движутся навстречу друг другу со скоростями v 1=6 м/с и v 2 = 2 м/с. Определить: 1) скорость и шаров после удара; 2) кинетические энергии шаров WK 1 до и WK 2 после удара; 3) долю кинетической энергии 
шаров, превратившейся во внутреннюю энергию. Удар считать прямым, неупругим.
Решение. 1. Неупругие шары не восстанавливают после удара своей первоначальной формы. Следовательно, не возникают силы, отталкивающие шары друг от друга, и шары после удара будут двигаться совместно с одной и той же скоростью и. Определим эту скорость по закону сохранения импульса
,
где: 
; 
– импульсы первого и второго шаров до удара; 
; 
– импульсы первого и второго шаров после удара.
В проекции на направление движения первого шара до удара, закон сохранения импульса примет вид:
m1v1 – т2v2= (т1 + m2) и,
откуда:
u= (m1v1 – т2v2)/(т1 + m2).
u =(2,5· 6–1,5· 2)/(2,5+1,5) м/с=3 м/с.
2. Кинетические энергии шаров до и после удара определим по формулам:
WK 1 = m1v12/2 + m2v22 / 2; WK2 = (m1 + т2) u2 / 2.
Произведя вычисления по этим формулам, получим:
WK 1=(2,5·62/2+1,5·22/2) Дж=48 Дж;
WK 2 = (2,5+1,5) З2/2 Дж=18 Дж.
3. Сравнение кинетических энергий шаров до и после удара показывает, что в результате неупругого удара шаров произошло уменьшение их кинетической энергии, за счет чего увеличилась их внутренняя энергия. Долю кинетической энергии шаров, пошедшей на увеличение их внутренней энергии, определим из соотношения:
Пример 10. Шар массой m 1, движущийся горизонтально с некоторой скоростью v1, столкнулся с неподвижным шаром массой т 2. Шары абсолютно упругие, удар прямой. Какую долю своей кинетической энергии первый шар передал второму?
Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением:
(1)
где 
— кинетическая энергия первого шара до удара; u 2 и 
, — скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.
Как видно из выражения (1), для определения надо найти u 2. Воспользуемся тем, что при ударе абсолютно упругих тел одновременно выполняются два закона сохранения: импульса и механической энергии.
По закону сохранения импульса, учитывая, что второй шар до удара покоился, имеем 
. По закону сохранения энергии в механике, 
Решая совместно два последних уравнения, найдем:
u 2=2 m 1 v 1/(m 1+ m 2).
Подставив это выражение u 2 в равенство (1), получим:
Из этого соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров. Доля передаваемой энергии не изменится, если шары поменяются местами.
Пример 11. Боек (ударная часть) свайного молота массой т 1=500 кг падает на сваю массой m 2=100 кг со скоростью v 1=4 м/с. Определить: 1) кинетическую энергию бойка в момент удара; 2) энергию 
, затраченную на углубление сваи в грунт; 3) кинетическую энергию 
, перешедшую во внутреннюю энергию системы; 4) КПД 
удара бойка о сваю. Удар бойка о сваю рассматривать как неупругий.
Решение. 1. Кинетическую энергию бойка в момент удара о сваю находим по формуле = m 1 v 12/2. Подставив значения m 1, и v 1 и произведя вычисления, получим:
=(500×42)/2 Дж=4000 Дж=4 кДж.
2. Чтобы определить энергию, затраченную на углубление сваи, предварительно найдем скорость системы боек — свая непосредственно после удара. Для этого применим закон сохранения импульса, который в случае неупругого удара выражается формулой:
т 1 v 1+ m 2 v 2=(m 1+ m 2) u, (1)
где v 2 — скорость сваи перед ударом; и — скорость бойка и сваи непосредственно после удара. Свая перед ударом находилась в состоянии покоя, поэтому v 2=0. Так как удар неупругий, то боек и свая после удара движутся как одно целое, т. е. с одинаковой скоростью и. Из формулы (1) найдем эту скорость:
(2)
В результате сопротивления грунта скорость бойка и сваи после удара быстро гасится, а кинетическая энергия, которой обладает система боек — свая, затрачивается на углубление сваи в грунт.
Эту энергию находим по формуле 
Заменим скорость и ее выражением (2): 
или, учитывая, что = m 1 v 12/2, запишем:
(3)
Подставив в формулу (3) значения т 1, m 2 и и произведя вычисления, получим:
= [500/(500+100)]. 4·103 Дж=3,33·103 Дж=3,33 кДж.
3. Боек до удара обладал энергией ; — энергия, затраченная на углубление сваи в грунт. Следовательно, во внутреннюю энергию, связанную с неупругой деформацией сваи, превратилась энергия:
= — .
Подставив в это выражение значения T 1 и T 2, найдем
=0,67 кДж.
4. Свайный молот служит для забивки сваи в грунт; следовательно, энергию следует считать полезной. КПД удара бойка о сваю выразится как отношение энергии , затраченной на углубление сваи в грунт, ко всей затраченной энергии :
= / .
Подставив в последнее выражение по формуле (3), получим
=m1/(m1+m2).
Подставим значения m 1 и т 2и произведем вычисления:
=83,3%.
Пример 12. Вычислить момент инерции Jz молекулы NО2 относительно оси z, проходящей через центр масс молекулы перпендикулярно плоскости, содержащей ядра атомов. Межъядерное расстояние d этой молекулы равно 0,118 нм, валентный угол =140°.
Решение. Молекулу NO2 можно рассматривать как систему, состоящую из трех материальных точек общей массой
m =2 m 1+ m 2, (1)
где m 1 — масса атома кислорода; m 2 — масса атома азота.
Расположим молекулу относительно координатных осей так, как это указано на рис. 8 (начало координат совместим с центром масс С молекулы, ось z направим перпендикулярно плоскости чертежа «к нам».)
Для определения Jz воспользуемся теоремой Штейнера:
J=J c+ ma 2.
Для данного случая эта теорема запишется в виде Jz' = Jz+ma 2, где Jz' — момент инерции относительно оси z', параллельной оси z и проходящей через атом азота (точка О на рис. 8). Отсюда искомый момент инерции
Jz = Jz' –ma 2 (2)
Момент инерции Jz' находим как сумму моментов инерции двух материальных точек (атомов кислорода):
Jz' = 2m1 d 2 (3)
Расстояние а между осями z и z ' равно координате xс центра масс системы и поэтому может быть выражено по формуле:
.
В данном случае:
а = х с= (2 m 1 x 1+ m 2 x 2)/(2 m 1+ m 2),
или, учитывая, что x 1= d cos ( /2) и х 2 = 0,
(4)
Подставив в формулу (2) значения Jz', т, а соответственно из выражений (3), (1), (4), получим:
или после преобразований:
(5)
Относительные атомные массы кислорода (A O=16) и азота (А N=14). Запишем массы атомов этих элементов в атомных единицах массы (а.е.м.), а затем выразим в килограммах (1 а.е.м. =1,66 ·10-27 кг):
m 1= 161,66·10-27 кг=2,66·10-26 кг;
m 2 = 141,66·10-27 кг = 2,32·10-26 кг.
Значения m 1, т 2, d и подставим в формулу (5) и произведем вычисления:
Jz =6,80·10-46 кг·м2.
Пример 13. Физический маятник представляет собой стержень длиной l =1 м и массой m 1=l кг с прикрепленным к одному из его концов диском массой т 2 = 0,5 m 1. Определить момент инерции J zтакого маятника относительно оси Оz, проходящей через точку О на стержне перпендикулярно плоскости чертежа (рис. 9).
|
Решение. Общий момент инерции маятника равен сумме моментов инерции стержня Jz1 и диска Jz2.
Jz = Jz1 + Jz2 (1)
Формулы, по которым вычисляются моменты инерции стержня Jz 1 и диска Jz 2 относительно осей, проходящих через их центры масс, даны в табл. на с. 13. Чтобы определить моменты инерции Jz 1 и Jz 2, надо воспользоваться теоремой Штейнера:
J=Jc+ma2. (2)
Выразим момент инерции стержня согласно формуле (2):
Jz1=l/12m1l2+m1a12.
Расстояние a 1 между осью Оz и параллельной ей осью, проходящей через центр масс C 1 стержня, как следует из рис. 9, равно 1/2 l ‑ l/3 l= l/6 l. С учетом этого запишем:
Jz 1 = l/12 m 1 l 2+ m 1 (l/6 l)2=1/9 m 1 l 2=0,111 m 1 l 2.
Момент инерции диска в соответствии с формулой (2) равен:
Jz 2=l/2 m 2 R 2+ m 2 a 22.
где R — радиус диска; R= 1/4 l. Расстояние а 2 между осью Оz и параллельной ей осью, проходящей через центр масс диска, равно (рис. 9) 2/3 l + l/4 l= l1/12 l. С учетом этого запишем:
Jz 2=l/2 m 2 (1/4 l)2+ m 2(l1/12 l)2= 0,0312 m 2 l 2 + 0,840 m 2 l 2= 0,871 m 2 l 2.
Подставив полученные выражения Jz1 и Jz2 в формулу (1), найдем
Jz= 0,111 m 1 l 2+0,871 m 2 l 2=(0,111 m 1+0,871 m 2) l 2,
или, учитывая, что т 2 = 0,5 m 1,
Jz= 0,547 m 1 l 2.
Произведя вычисления, получим значение момента инерции физического маятника относительно оси Оz:
Jz =0,547·1·1 кг·м2=0,547 кг·м2.
Пример 14. Вал в виде сплошного цилиндра массой m 1 = 10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой m 2=2 кг (рис. 10). С каким ускорением а будет опускаться гиря, если ее предоставить самой себе?
Решение. Линейное ускорение а гири равно тангенциальному ускорению точек вала, лежащих на его цилиндрической поверхности,
