Розрахунок статично невизначуваного бруса

На рис. 1.2, а показано ступінчастий брус, лівий кінець якого жорстко закріплено, а на правому є зазор. Матеріал бруса – низьковуглецева сталь. Допустиме напруження . Модуль пружності .

Потрібно:

1) визначити, при яких значеннях сили повне подовження бруса буде дорівнювати зазору;

2) побудувати епюру нормальних сил N;

3) побудувати епюру нормальних напружень;

4) перевірити міцність бруса (на кожній ділянці).

 

Дані для розрахунку: P = 25 кН, а = 25 см, 1,5 см²,

= 0,15 мм.

Примітка. Коли стане ясно, що , то в цьому випадку брус буде статично невизначуваним; якщо ж , то брус буде статично визначуваним (рис. 1.2, а).

Рис. 1.2

Розв’язання:

1. Визначаємо значення сили . Маємо:

Звідси

Оскільки кН кН, то брус є статично невизначуваним.

 

2. Визначаємо нормальну силу і будуємо епюру N. Складаємо рівняння рівноваги статики:

,

звідки . (1.1)

Рівняння (1.1) є рівнянням статики. У цьому рівнянні дві невідомі реакції і . Отже, цей брус один раз статично невизначуваний. Для розв'язання задачі потрібно скласти одне додаткове рівняння рівняння переміщень. Це рівняння має вигляд:

.

Звідси

. (1.2)

Із рис. 1.2, а видно, що

. (1.3)

Із формул (1.3) випливає, що

, . (1.4)

Підставляючи вирази (1.3) і (1.4) у рівняння (1.2), отримаємо:

. (1.5)

Підставляючи рівняння (1.3) в формулу (1.1), знайдемо:

. (1.6)

Розв’язуючи сумісно рівняння (1.5) і (1.6), а також ураховуючи співвідношення (1.4), дістаємо:

; ;

; .

Маємо:

Н = 5,4 кН.

Отже,

кН; кН;

кН; кН.

За цими даними будуємо епюру нормальних сил N

(рис. 1.2, б).

3. Визначаємо нормальне напруження і будуємо епюру. Нормальне напруження в поперечному перерізі бруса розраховуємо за формулою

.

Маємо:

на ділянці I: кН;

Па = – 120 МПа;

на ділянці II: кН;

Па = 102 МПа;

на ділянці III: кН;

Па = 153 МПа;

на ділянці IV: кН;

Па = –14 МПа.

За цими даними будуємо епюру (рис. 1.2, в).

4. Перевіряємо виконання умови міцності, яка має вигляд:

.

На ділянці I: :

На ділянці II: :

На ділянці III: :

На ділянці IV: :

Отже, умова міцності виконується на всіх ділянках цього бруса.

Методичні рекомендації

Під час вивчення цієї теми потрібно запам’ятати, що при центральному прикладенні навантаження в поперечному перерізі стержня виникає лише один силовий фактор нормальна сила. Необхідно навчитися визначати значення і знак нормальної сили і будувати її епюру.

Слід знати передумови, на основі яких визначаються нормальні напруження при розтяганні (стисканні), уміти вивести формулу для визначення напружень і будувати їхні епюри.

Необхідно запам’ятати, яка деформація називається абсолютною, а яка відносною, як пов’язані між собою поздовжні і поперечні деформації та що таке коефіцієнт Пуассона.

Потрібно навчитися записувати закон Гука при розтяганні і стисканні, виводити формулу для потенціальної енергії, використовувати умову міцності і жорсткості при підборі перерізів стержнів.

Особливу увагу варто звернути на механічні властивості матеріалів, установити, які фактори впливають на ці властивості, уміти визначати характеристики міцності та пластичності за діаграмами розтягання і стискання матеріалів.

Необхідно навчитися відрізняти статично невизначувані конструкції та вміти розкривати їхню статичну невизначеність. Потрібно запам’ятати, як впливає температура і неточність виготовлення на зусилля в елементах статично невизначуваних конструкцій, звернути увагу на те, що зусилля в стержнях статично невизначуваної системи залежать від відношення їхніх жорсткостей, а в статично визначуваній системі жорсткості не впливають на розподіл зусиль.

Запитання для самоперевірки

1. Як будується діаграма розтягання?

2. Що називається границею пропорційності?

3. Що називається границею пружності, текучості, міцності?

4. Як формулюється закон Гука?

5. Що називається коефіцієнтом поперечної деформації?

6. Як знайти роботу розтягальної сили за діаграмою розтягання?

7. У чому полягає відмінність між пластичними і крихкими матеріалами?

8. Які задачі називаються статично невизначуваними?

9. Який загальний порядок розв’язання статично невизначуваних задач?

10. Як знаходять напруження при зміні температури?

11. Як знаходять подовження стержня, який розтягується під власною вагою?

12. Від яких факторів залежить коефіцієнт запасу міцності?

13. Як формулюється умова міцності?

 

Теорія напруженого стану