Методичний інструментарій оцінки вартості грошей у часі

Концепції майбутньої та теперішньої вартості грошей ґрунтуються на базі розрахунку вартості використання грошей протягом певного періоду часу.

ВИЗНАЧЕННЯ І НАРАХУВАННЯ ВІДСОТКІВ. Існують два способи.

Декурсивний спосіб нарахування відсотків. Відсотки нараховуються в кінці кожного інтервалу нарахування, їх величина визначається, виходячи з величини капіталу, що надається. Відповідно декурсивна відсоткова ставка (позиковий відсоток) представляє собою виражене у відсотках відношення суми нарахованого за певний інтервал доходу до суми, що є на початок даного інтервалу.

(4.1)

У фінансових розрахунках перший показник ще називається "відсотковою ставкою", "відсотком", "ставкою відсотку", "нормою прибутку", "доходністю".

Антисипативний (попередній) спосіб нарахування відсотків. Відсотки нараховуються на початку кожного інтервалу нарахування. Сума процентних грошей визначається, виходячи з нарощеної суми. Відсотковою ставкою буде відношення суми доходу, що виплачується за певний інтервал, до величини нарощеної суми, одержаної по закінченні цього інтервалу (у відсотках).

(4.2)

Визначена таким чином відсоткова ставка називається (в широкому смислі слова) обліковою ставкою, дисконтом або антисипативним відсотком. Очевидно, що обидві ставки взаємопов'язані, тобто, знаючи один показник, можна розрахувати інший:

(4.3)

Декурсивний спосіб нарахування відсотків є поширеним в світовій практиці; антисипативний метод нарахування відсотків застосовувався в країнах розвинутої ринкової економіки, як правило, в періоди високої інфляції. Але незалежно від способу нарахування відсотків відсоткові ставки можуть бути простими і складними.

Простий відсоток. Простий відсоток - це нарахування відсотку лише на початково інвестовану суму. Наприклад, на початку року інвестор розміщує на рахунку в банку суму Р під r відсотків. Через n років він одержить:

Р_n = Р * (1 + r * n) (4.4)

де: Р_n - майбутня вартість;

Р - сьогоднішня вартість.

Нарахування за схемою простих відсотків застосовується, як правило, в короткострокових фінансових операціях, коли інтервал нарахування співпадає з періодом нарахування (і дорівнює строку менше одного року), або коли після кожного інтервалу нарахування кредитору виплачуються відсотки. Природно, що нарахування простих відсотків може застосовуватись і в будь-яких інших випадках за домовленістю сторін, що беруть участь в операції.

Якщо простий відсоток нараховується протягом періоду, який складає менше року, формула (1.4) набуває вигляду:

(4.5)

де: t - кількість днів нарахування відсотку протягом року;

Т - кількість днів в році;

Р_t - сума, яка одержується при нарахуванні відсотку за t днів;

r - відсоток, що нараховується.

В залежності від способу визначення тривалості фінансової операції розраховується або точний, або приблизний (комерційний) відсоток.

Дата видачі і дата погашення позики завжди приймаються за один день. При цьому можливі два варіанти:

1) використовується точна кількість днів позики, яка визначається по спеціальних таблицях, де вказані порядкові номери кожного дня року; з номеру, який відповідає дню закінчення позики, рахують день першого дня;

2) береться приблизна кількість днів позики, коли тривалість повного місяця приймається за 30 днів; цей метод використовується, коли не потрібна велика точність, наприклад, при частковому погашенні позики.

Точний відсоток одержують, коли за часову базу беруть фактичну кількість днів в році (365 або 366) і точне число днів позики. На практиці вибір того чи іншого способу залежить від величини суми, яка використовується при здійсненні фінансової операції.

Якщо період нарахування відсотків вимірюється в місяцях, то сума, отримана інвестором, буде розраховуватись наступним чином:

(4.6)

де: t – кількість місяців, протягом яких нараховується відсоток;

Р_t – сума, яку інвестор отримає через t місяців.

Складний відсоток: нарахування відсотку один раз на рік. У довгострокових фінансово-кредитних угодах частіше використовують нарахування складних відсотків. При нарахуванні складних відсотків їх нараховують не тільки на основну суму, а й на суму, що включає як основну суму, так і нараховані раніше відсотки. У цьому випадку кажуть, що відбувається капіталізація відсотків в міру їх нарахування. Відповідно до ідеології нарахування складних відсотків за перший період нарахування відсотків базою для нарахування є основна сума:

Р_t = Р * (1 + r) (4.7)

Відмінність результатів для складного і простого відсотків виникає, починаючи з другого періоду нарахування, а через n років сума на рахунку зросте до величини:

Р_n = Р * (1 + r)ⁿ (4.8)

Нарахування відсотків декілька разів на рік. Складний відсоток може нараховуватися частіше, ніж один раз на рік, наприклад, раз в півроку, квартал, місяць тощо. Нарахування складних відсотків декілька разів на рік називаєтьсякомпаундингом. Як правило, у фінансових контрактах фіксується річна відсоткова ставка і при цьому відсотки можуть нараховуватися по півріччях, кварталах, місяцях тощо. Відсотки, що нараховуються з певною періодичністю, називаються дискретними. В цьому випадку річна ставка називається номінальною, а відсоткова ставка за один інтервал нарахування вважається рівною відношенню номінальної ставки до кількості інтервалів в році. Нарощена сума буде розраховуватись за наступною формулою:

(4.9)

де: m - періодичність нарахування відсотку протягом року.

Отже, можна зробити висновок, що при фіксованій номінальній ставці є необхідним зазначення частоти нарахувань, оскільки зі зростанням кількості нарахувань відсотків протягом року абсолютний річний доход зростає.

Безперервні нарахування відсотку. Складний відсоток може нараховуватись дуже часто. Якщо тривалість інтервалу нарахування наближається до нуля, а періодичність нарахування відсотків - до нескінченності (m → ∞), ми одержимо безперервне нарахування відсотків, яке нерідко використовується в світовій практиці. Іншими словами, безперервне нарахування відсотків називається нескінченним компаундингом. Н е дивлячись на те, що непросто уявити частоту нарахування відсотків, яка дорівнює нескінченності, математично можливо визначити ту суму коштів, яку одержить інвестор, якщо розмістить гроші на умовах відсотку, що нараховується безперервно. Формула для нескінченно нараховуваного відсотку має наступний вигляд:

(4.10)

де: r_n - відсоток, що нараховується безперервно;

n - період часу нарахування відсотку; е- 2,71828...

Еквівалентний і ефективний відсотки. В практиці фінансового ринку відсоток, що нараховується по активу, задають як простий відсоток з розрахунку на рік. Однак, якщо в рамках року по активу передбачено нарахування складного відсотку, то загальний результат, який одержить інвестор, буде вище декларованого. Щоб його визначити, необхідно розрахувати ефективний або реальний відсоток.

Ефективний (реальний) відсоток - це відсоток, який одержується за результатами року при нарахуванні складного відсотку. Ефективний відсоток можна визначити з наступного співвідношення:

→ (4.11)

де: r_еф - ефективний відсоток;

r - простий відсоток з розрахунку на рік, який заданий за умовами фінансового інструменту.

Комбінація простого і складного відсотків. Досить часто фінансові контракти укладаються на період, що відрізняється від цілої кількості років. В даному випадку відсотки можуть нараховуватися або за схемою складних відсотків (формула 4.8) або за наступною схемою:

(4.12)

де: P_n+t – сума, яку одержить інвестор за n років і t днів;

Р – початково інвестована сума;

t – число днів, за які нараховується простий відсоток;

r – відсоток, що нараховується протягом року.

Потрібно враховувати, що даний метод дає менший, ніж потрібно результат. Отже, в ситуації, коли номінали грошових сум досить високі, цей метод не використовується. В цьому разі застосовують наступні формули (4.13) і (4.14) (капіталізація відсотків здійснюється щорічно):

(4.13)

(4.14)

Дисконтована вартість. У фінансових розрахунках виникає необхідність порівнювати між собою різні суми грошей в різні моменти часу. Дисконтування – це зведення економічних показників різних років до порівняного в часі вигляду. Дисконтування здійснюється за допомогою коефіцієнта дисконтування (дисконтуючого множника). Цю задачу вирішують за допомогою наступної формули:

(4.15)

де: Р_n – це майбутня вартість;

Р – дисконтована або приведена вартість (синонімами є сьогоднішня, дійсна, поточна вартість);

- це коефіцієнт дисконтування. Економічний коефіцієнт дисконтування полягає в тому, що його величина відповідає поточній вартості однієї грошової одиниці, яка буде одержана в кінці періоду n при складному відсотку r. Його величина залежить від тривалості всього періоду і необхідної ставки дисконту. Формула (4.15) використовується також при оцінці облігацій з нульовим купоном.

При нарахуванні складного відсотку m разів на рік формула (4.15) набуває вигляду:

(4.16)

Для відсотку, що нараховується безперервно:

(4.17)

Для розрахунку дисконтованої вартості для простого відсотку використовується формула:

(4.18)

Визначення періоду нарахування відсотків. На практиці виникають питання визначення періоду часу, який необхідний для збільшення суми Р до значення Р_n при нарахуванні відсотку r. Для простого відсотку:

(4.19)

Період t буде дорівнювати відповідно:

(4.20)

та

(4.21)

Період часу інвестування дорівнює:

(4.22)

РЕНТНІ ПЛАТЕЖІ (АНУЇТЕТИ) ТА ЇХ ОЦІНКА. Надходження або платежі одного розміру, які здійснюються через однакові інтервали часу протягом визначеного періоду називаються ануїтетами або рентою. Вони можуть здійснюватись або в кінці, або на початку кожного періоду. В першому випадку має місце звичайна рента, а в другому – вексельна. На практиці найбільш вживаною є звичайна рента.

Визначення майбутньої вартості потоку платежів. Нехай інвестор протягом певного періоду часу в кінці кожного року одержує платежі, які не є однаковими. Якщо він буде інвестувати суму кожного платежу на час до закінчення даного періоду, то після його завершення одержить деяку суму грошей, яку називають майбутньою вартістю потоку платежів.

Майбутню вартість потоку платежів можна визначити за формулою:

(4.23)

де: F - майбутня вартість потоку платежів;

С_t - сума платежу за рік t;

r - відсоток, під який інвестується сума С_t;

n - кількість років, протягом яких проводяться виплати.

Майбутня вартість звичайного ануїтету при нарахуванні складного відсотку один раз на рік. Виникають ситуації, коли отримують (або виплачують) не одну суму, а декілька. Причому виплату (отримання) цих сум проводять за такими правилами: однакова сума через рівні проміжки часу за однієї й тієї самої діючої відсоткової ставки.

Такий механізм припливу (відпливу) грошей одержав назву ануїтету або ренти. Теорія ануїтетів є важливою частиною фінансової математики. Розрізняють два основних типи рент: безумовні й умовні ренти. Безумовні - ренти з фіксованим строком, тобто дати першої і останньої виплати визначені до початку ренти. Умовні ренти, в яких дата першої та останньої виплат залежить від деякої події. Рента називається звичайною (постнумерандо), якщо виплати здійснюються в кінці кожного періоду, і приведеною (авансованою, вексельною або пренумерандо), якщо виплати відбуваються на початку кожного періоду. В зв'язку з тим, що період ренти може співпадати або не співпадати з періодом нарахування відсотків, ренти класифікують на прості і загальні.

Як і для простої величини, для ануїтету можна визначити його майбутню і теперішню вартість.

Майбутню вартість ануїтету визначають як суму платежів і складних відсотків, що їх нараховують на кожній платіж на період часу, який пройшов від моменту кожного платежу до моменту останнього платежу. Визначити майбутню вартість звичайного ануїтету можна за допомогою формули:

(4.24)

Перетворимо формулу (4.24) для одержання С:

(4.25)

Майбутня вартість звичайного ануїтету при здійсненні виплат m разів на рік розраховується за формулою:

(4.26)

Майбутня вартість ануїтету при нарахуванні відсотку m разів на рік. Випадок, що розглядається, відрізняється від попереднього тим, що складний відсоток нараховується протягом року m разів, а платежі по ануїтету здійснюються тільки в кінці кожного року. Це означає, що відсотки по першому платежу нараховують з початку другого року і здійснюють m разів на рік тощо.

В даному випадку майбутня вартість ануїтету дорівнює:

(4.27)

Приведена вартість ануїтету при нарахуванні відсотку один раз на рік. Оберненим до поняття майбутньої вартості ануїтету є поняття теперішньої вартості ануїтету. Це – теперішня, поточна або сьогоднішня вартість майбутніх рівномірних платежів, які здійснюють через рівні проміжки часу. Вона розраховується за формулою:

(4.28)

де: Р – приведена вартість ануїтету.

Формула приведеної вартості ануїтету може також використовуватися в тому випадку, коли позичальник бере кредит на умовах його погашення в майбутньому щорічними рівними платежами. Для цього з формули (4.28) виражають величину С:

(4.29)

де: Р – сума кредиту;

r – відсоток по кредиту;

С – платіж по кредиту;

N – термін дії кредиту.

Приведена вартість ануїтету при здійсненні виплат m разів на рік. Для випадку, що розглядається, приведену вартість ануїтету знаходять за допомогою наступної формули:

(4.30)

Приведена вартість ануїтету при нарахуванні відсотку m разів на рік розраховується за формулою:

(4.31)

Довічна рента. Довічна рента - рента, виплати якої не обмежені ніякими строками. Інша назва довічної ренти - перпетуїтет. Майбутню вартість такого ануїтету визначити неможливо, так як вона не є кінцевою величиною. Однак можна розрахувати приведену вартість довічної ренти, скориставшись формулою (4.30). Оскільки для такого ануїтету n → ∞, то набуває вигляду:

(4.32)

Прикладом довічного ануїтету є безстрокові облігації (наприклад, англійська безстрокова державна облігація (консоль), яка випущена у 18 столітті і по ній сплачується дохід кожні півроку) та привілейовані акції, що генерують доход невизначено тривалий час, тому їх поточна теоретична вартість визначається за формулою (2.31). Найбільш простим варіантом оцінки привілейованої акції є відношення величини дивіденду до ринкової норми прибутку за акціями даного класу ризику (наприклад, ставки банківського проценту за поправкою на ризик).