Теорема 8.7. (достаточный признак существования точки перегиба)

Рисунок 8.9

Если в точке х = х ₀ вторая производная функции у = f (x) обращается в нуль и меняет знак при переходе через неё, то М ₀(х ₀; f (x ₀)) – точка перегиба графика этой функции.

Например, в предыдущей задаче мы установили, что f ''(2) = 0 и f ''(x) меняет знак при переходе через эту точку. Следовательно, х = 2 – точка перегиба графика функции f (x) = .

 

Схема исследования функции и построение графика

Под «исследованием функции» понимают изучение её поведения (изменения) в зависимости от изменения аргумента. На основании исследования функции строят её график, предварительно изображая характерные точки.

Исследование функций и построение графиков можно проводить по следующей схеме:

1) найти область определения функции;

2) исследовать вопрос о чётности функции, о периодичности;

3) найти точки пересечения графика функции с осями координат;

4) изучить поведение функции при стремлении аргумента к концам промежутков области определения;

5) найти точки экстремумов, промежутки возрастания и убывания функции;

6) определить промежутки выпуклости функции, найти точки перегиба;

7) найти асимптоты графика функции.

Порядок исследования иногда целесообразно выбирать исходя из конкретных особенностей данной функции.

Пример 8.4. Исследовать функцию у = и построить её график.

Вопросы для самоконтроля

1. Сформулируйте необходимый и достаточный признаки возрастания (убывания) функции в данной точке.

2. Дайте определения максимума и минимума функции.

3. Сформулируйте необходимое условие существования экстремума.

4. Какие значения аргумента (какие точки) называются критическими и как они находятся?

5. Сформулируйте достаточный признак существования экстремума.

6. Дайте определение выпуклости, вогнутости кривой.

7. Что называется точкой перегиба графика функции, как находятся эти точки?

8. Сформулируйте необходимый и достаточный признаки выпуклости и вогнутости кривой на заданном интервале.

9. Дайте определение асимптоты кривой. Как найти уравнения асимптот: вертикальных, горизонтальных, наклонных?

10. Изложите общую схему исследования функции и построение ее графика.

Литература

1. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: в 2 ч. / Д. Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2004. – 280 с.

2. Кремер, Н. Ш. Высшая математика для экономистов / Н. Ш. Кремер. – М.: «Юнити». 1997 г. – 439 с.

3. Минорский, В. П. Сборник задач по высшей математике / В. П. Минорский. – М., 1978. – 352 с.

4. Яблонский, А. И. Высшая математика /А. И. Яблонский. – Мн.: Высшая школа, 2000. – 351 с.

5. Гусак, А. А. Задачи и упражнения по высшей математике / А. А. Гусак. – Мн.: Высшая школа, 1988. – 544 с.

6. Гурский, Е. И. Руководство к решению задач по высшей математике / Е. И. Гурский. – Мн.: Высшая школа, 1989. – 348 с.

7. Александров, П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / П. С. Александров. – М.: Наука, 1979. – 512 с.

8. Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии / А. А. Бурдун [и др.]. – Мн.: Университетское, 1999. – 302 с.

9. Милованов, М. В. Алгебра и аналитическая геометрия / М. В. Милованов, Р. И. Тышкевич, А. С. Феденко. – Мн.: Вышэйшая школа, 1984. – 269 с.

10. Гусак, А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: справочное пособие по решению задач / А. А. Гусак. – Мн.: ТетраСистемс, 2001. – 288 с.

11. Тер-Крикоров, А. М. Курс математического анализа: учебное пособие для вузов / А. М. Тер-Крикоров, М. И. Шабунин. – М.: Наука Гл. ред. физ.-мат. Лит., 2001. – 672 с.

12. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для вузов / Н. С. Пискунов. – М.: Наука, 1970. – 560 с.

13. Бугров, Я. С. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функция комплексного переменного / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – М.: Наука,1981. – 506 с.

14. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Р. Ф. Апатенок [и др.]. – Мн.: Вышэйшая школа, 1986. – 272 с.

15. Выготский, М. Я. Справочник по высшей математике / М. Я. Выготский. – М.: Наука, 1966. – 872 с.

16. Справочник по высшей математике / А. А. Гусак [и др.]. – Мн.: ТетраСистемс, 2000. – 638 с.

 

Производственно-практическое издание

 

 

БУЗЛАНОВ Александр Васильевич

БОРОДИЧ Елена Николаевна

БОРОДИЧ Руслан Викторович

БОРОДИЧ Тимур Викторович

 

 

Высшая математика: