Правило дифференцирования сложной функции

Следующая теорема даёт правило дифференцирования сложной функции.

Теорема 6.2. Если функция х = φ(t) имеет производную в точке t ₀, а функция у = f (x) имеет производную в соответствующей точке х ₀ = φ(t ₀), то сложная функция f (φ(t)) имеет производную в точке t ₀, причём имеет место следующая формула

у '(t ₀) = f '(x ₀) × φ'(t ₀).

Пример 6.4. Вычислить у ', если у = .

Решение. Данную функцию можно представить в виде у = , где . Тогда по теореме 6.2 у '() = у '() × '() = ()' × ()' = = × = × .

Замечание 6.1. В теореме 6.2 мы рассмотрели сложную функцию, где у зависит от переменной t через одну промежуточную переменную х. Возможна и более сложная зависимость – с несколькими промежуточными переменными. При этом правило дифференцирования остаётся прежним.

Пример 6.5. Вычислить производную функцию у = tg²( ²+1).

Решение. Данную функцию можно представить в виде у = ², = tg , = ²+1. Тогда

у '() = у '() × '() × '() = ( ²)' × (tg )' × ( ²+1)' = = tg .

Мы уже отмечали, что производная f '(х) функции у = f (x) сама является функцией аргумента х. Следовательно, по отношению к ней снова можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной.

6.4 Производная n -го порядка

Определение 6.4. Назовём f '(х) производной первого порядка функции у = f (x), дифференцируемой на некотором промежутке (). Производная от f '(х) называется производной второго порядка функции у = f (x) и обозначается f ''(x). Производная от f ' '(x) называется производной третьего порядка, обозначается f '''(x). Таким образом определяется производная n -го порядка для любого натурального n. Производные, начиная со второй, называются производными высшего порядка и обозначаются: у '', у ''', у ⁽⁴⁾, у ⁽⁵⁾,…, у ⁽ ⁿ ⁾,…. Итак, по определению

у ⁽ ⁿ ⁾= (у ⁽ ⁿ ^{– 1)})', n = 2, 3, ….

Пример 6.6. Вычислить производную третьего порядка функции у = .

Решение. 1) у ' = ;

2) у '' = (у ')' =

= ;

3) у ''' = (у '')' = ()' = = .

Определение 6.5. Пусть функция у = f (x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка. Дифференциал dy = f '(x) dx называется дифференциалом первого порядка функции у = f (x). Дифференциалы высших порядков (второго, третьего и т. д.) определяются следующей формулой

dⁿy = f ⁽ⁿ⁾(x)(dx) ⁿ, n = 2, 3,….

Пример 6.7. Вычислить дифференциал d ² y, где у = х ⁴− 3 х ²+ 4.

Решение. 1) dy = (х ⁴− 3 х ²+ 4)' dx = (4 х ³ – 6 х) dx;

2) d ² y = (4 x ³ – 6 x)'(dx) = (12 x ² – 6)(dx)².

Вопросы для самоконтроля

1. Сформулируйте определение производной.

2. Каков геометрический смысл производной?

3. Какая функция называется дифференцированной в точке?

4. Что называют дифференциалом функции?

5. Сформулируйте основные правила дифференцирования функции.

6. По какому правилу находится дифференцирование сложной функции?

7. Как находятся производные и дифференциал высших порядков?

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма

Теорема 7.1. Пусть функция f (x) определена () и в некоторой точке х ₀ этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке х ₀ существует производная, то она равна нулю, т. е. f ¢(x) = 0.

Доказательство. Пусть для определённости в точке х ₀ функция f (x) имеет наибольшее значение, т. е. для любого х Î () выполняется неравенство f (x) £ f (x ₀). Это означает, что ∆ у = f (x ₀+ ∆ x) – f (x ₀) £ 0 для любого приращения аргумента ∆ х. Возможны два случая:

1) ∆ х > 0. Тогда £ 0 и, следовательно,

= £ 0;

2) ∆ х < 0. Тогда ³ 0 и, следовательно,

= ³ 0.

По условию, f ¢(x) существует, поэтому существует . Но тогда существуют односторонние пределы и , причём

0 £ = = £ 0.

Всё это возможно только при = 0, т. е. при f ¢(x) = 0.

Аналогично рассматривается случай, когда в точке х ₀ функция f (x) имеет наименьшее значение.

Теорема Ролля

Теорема 7.2. Пусть на [ ] определена функция f (x), причём: 1) f (x) непрерывна на [ ]; 2) f (x) дифференцируема на (); 3) f () = f (). Тогда существует точка Î(), в которой f ¢() = 0.

Доказательство. Так как функция f (x) непрерывна на [ ], то по второй теореме Вейерштрасса она имеет на этом отрезке максимальное значение М и минимальное значение m, т. е. существуют такие точки х ₁, х ₂Î [ ], в которых f (x ₁) = m, f (x ₂) = M и выполняются неравенства

m £ f (x) £ M для всех х Î [ ].

Возможны два случая:

1) M = m. Тогда f (x) = const = M = m. В этом случае для любого х Î () имеем f '(x) = 0. Теорема верна;

2) m < M. Так как f () = f (), то хотя бы одно значение m или М достигается на (), т. е. существует Î () такая, что f () = m или f () = M. Поскольку f (x) дифференцируема в точке , то по теореме Ферма f '() = 0.

Теорема Лагранжа

Теорема 7.3. Пусть на отрезке [ ] определена функция f (x), причём 1) f (x) непрерывна на [ ]; 2) f (x) дифференцируема на (). Тогда существует точка Î () такая, что справедлива формула

Доказательство. Введём в рассмотрение на [ ] вспомогательную функцию

F (x) = f (x) – f () − × (x − ).

Функция F (x) удовлетворяют всем трём условиям теоремы Ролля:

1) F (x) непрерывна на [ ] как разность двух непрерывных функций f (x) и линейной функции

f () + × (x − );

2) F (x) дифференцируема на (). Действительно, f (x) дифференцируема на () по условию, поэтому производная F '(x) = f '(x) − существует на ();

3) F () = 0; F () = 0, т. е. F () = F ().

Тогда по теореме Ролля существует точка Î () такая, что F '() = 0, т. е.

f '() = .

Равенство f () – f () = f '()() называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

Теорема Коши

Теорема 7.4. Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны на [ ] и дифференцируемы на (). Пусть, кроме того, g '(x) ≠ 0. Тогда на () существует точка такая, что справедлива формула

(7.1)

Доказательство. Прежде всего отметим, что g () ≠ g (), т. е. формула (7.1) имеет смысл. Если предположить, что g () = g (), то по теореме Ролля для функции g (x) на () найдётся точка h такая, что g '(h) = 0. Это противоречит условию g '(x) ≠ 0 на ().

Рассмотрим на [ ] вспомогательную функцию

F '(x) = f '(x) − × g '(x), то f '() − × g '() = 0,

откуда, учитывая g '() ≠ 0, получим

Формула (7.1) называется формулой Коши или обобщённой формулой конечных приращений.

Замечание 7.1. Если в формуле Коши взять функцию g (x) = x, то получим формулу Лагранжа.

Снова вернёмся к вопросу раскрытия неопределённостей. Познакомимся с простым и эффективным методом раскрытия неопределённостей, который называется правилом Лопиталя–Бернулли. Основано это правило на следующей теореме.

7.2 Правило Лопиталя–Бернулли

Теорема 7.5. Пусть функции f (x) и g (x) определены и дифференцируемы на некотором интервале (), содержащем точку х ₀, за исключением, быть может, самой точки х ₀. Пусть, далее, f (x) = g (x) = 0 и g '(x) ≠ 0 на (). Тогда, если существует , причём

Пример 7.1. Найти .

Решение. Функции f (x) = и g (x) = определены и дифференцируемы на (), причём f (x) = g (x) = 0. Предел отношения производных этих функций существует:

причём g '(x) = ≠ 0 для х Î (). Теперь по теореме Лопиталя–Бернулли существует , причём

= =

Замечание 7.2. Теорема Лопиталя–Бернулли позволяет раскрывать неопределённости

Замечание 7.3. Обычно при вычислении пределов записывают только необходимые преобразования, а проверку выполнения условий теоремы Лопиталя–Бернулли делают по ходу вычислений. Если при этом окажется, что отношение производных снова представляет неопределённость , то правило Лопиталя–Бернулли применяют повторно.

Пример 7.2.

Замечание 7.4. Теорема Лопиталя–Бернулли остаётся верной и в случае, когда х → ∞, х → +∞, х → −∞.

Пример 7.3.

−

Замечание 7.5. Если в теореме Лопиталя–Бернулли заменить требование

f (x) = g (x) = 0 на условие f (x) = g (x) = ∞,

то теорема остаётся верной. В такой формулировке правило Лопиталя-Бернулли позволяет раскрывать неопределённости вида

Пример 7.4. Найти .

Решение. = = =…= =

Замечание 7.6. Неопределённости вида 0 × ∞ и ∞ − ∞ можно свести к неопределённостям вида и , а затем раскрыть с помощью правила Лопиталя–Бернулли.

Пример 7.5. Найти предел .

Решение. () = (0 × ∞) = =

Пример 7.6. (∞ − ∞)=

Замечание 7.7. Неопределённости вида 0⁰, 1^∞, ∞⁰ имеют место при рассмотрении функций у = f (x) ^g ⁽ ^x ⁾. Эти неопределённости с помощью тождества

f (x) ^g ^(x) = е^g ^{(x)ℓn f (x)}

сводятся к неопределённостям, которые рассмотрены выше.

Пример 7.7. (1^∞) = = = = = = =