Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий математического анализа.
Определение 5.1. Функция у = f (x), определённая на интервале 
, называется непрерывной в точке х 0 , если 
f (x) = f (x 0).
Пример 5.1. Доказать непрерывность функции f (x) = 2 х 2 + 2 х +1 в точке х 0 = 1.
Решение. Находим:
1) 
f (x) = (2 х 2 + 2 х +1) = 2 
x 2 + 2 x + 1 = 2 × 1 + 2 × 1 + 1 = 5.
2) f (1) = 2 × 12 + 2 × 1 + 1 = 5.
Так как f (x) = f (1), то по определению функция f (x) непрерывна в точке х 0 = 1.
Определение 5.2. Пусть х 0, х 0 Î . Разность ∆ х = х − х 0 называется приращением аргумента в точке х 0, а разность ∆ у = f (x) − f (x 0) = f (x 0 + ∆ x) − f (x 0) – приращением функции в точке х 0.
Теорема 5.1. Функция у = f (x) непрерывна в точке х 0 Î тогда и только тогда, когда 
∆ у = 0.
Доказательство. 1 Пусть функция у = f (x) непрерывна в точке х 0 Î . Это означает, что f (x) = f (x 0). Положим х = х 0 + ∆ х. Получим
f (x 0 + ∆ x) = f (x 0),
откуда f (x 0 + ∆ x) − f (x 0) = 0, ((x 0 + ∆ x) − f (x 0)) = 0,
т. е. 
∆ у = 0.
2 Пусть теперь ∆ у = 0. Тогда ((x 0 + ∆ x) − f (x 0)) = 0, откуда f (x 0 + ∆ x) − f (x 0) = 0, f (x 0 + ∆ x) = f (x 0). Это означает, что функция у = f (x) непрерывна в точке х 0.
Теорема 5.2. Если функции f (x) и φ(х) непрерывны в точке х 0, то непрерывны в этой точке их сумма f (x) + φ(x), разность f (x) − φ(x), произведение f (x) × φ(x), а также частное f (x)/φ(x) при условии, что φ(х 0) ≠ 0.
Доказательство этой теоремы непосредственно следует из определения непрерывности и свойств пределов функций.
Например, непрерывными являются многие элементарные функции:
1) целая рациональная функция Pn (x) = 
непрерывна при всех х Î R;
2) дробно-рациональная функция R (x) = 
непрерывна при всех х, для которых знаменатель не обращается в нуль;
3) тригонометрические функции у = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x непрерывны во всех точках области определения.
Теорема 5.3. Пусть функция z = φ(x) непрерывна в точке х 0, а функция у = f (z) непрерывна в точке z 0 = φ(x 0). Тогда сложная функция у = f (φ(x)) непрерывна в точке х 0.
Эта теорема позволяет сделать вывод о непрерывности функций, которые являются композициями непрерывных функций.
Пример 5.2. Доказать, что функция у = sin x 2 непрерывна в точке х 0 = 0.
Решение. Функция z = x 2 непрерывна в точке х 0 = 0 как целая рациональная функция. Функция у = sin z непрерывна в точке z 0 = x 02 = 0, то по теореме 5.3 сложная функция у = sin z = sin x 2 непрерывна в точке х 0 = 0.
Определение 5.3. Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Если функция определена при х = 
и при этом 
f (x) = f (), то говорят, что f (x) в точке непрерывна справа. Аналогично, если 
f (x) = f (
), то говорят, что f (x) в точке 
непрерывна слева. Функция называется непрерывной на 
, если она непрерывна в каждой его точке (в точке – непрерывна справа, в точке 
– непрерывна слева).
Функции, непрерывные на отрезке, обладают рядом важных свойств, которые выражаются следующими теоремами.
Теорема 5.4. (первая теорема Больцано-Коши).
Пусть функция f (x) непрерывна на [ 
] и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка 
Î [ ], в которой f () = 0.
Теорема 5.5. (вторая теорема Больцано-Коши).
Пусть функция f (x) непрерывна на [ 
], причём f () = A, f () = B. Пусть С – любое число, заключённое между А и В. Тогда на отрезке [ ] найдётся точка такая, что f () = C.
Теорема 5.6. (первая теорема Вейерштрасса).
Если функция f(x) определена и непрерывна на [ ], то она ограничена на этом отрезке.
Теорема 5.7. (вторая теорема Вейерштрасса).
Если функция f(x) непрерывна на [ ], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего значения и своего наибольшего значения, т. е. существуют такие точки х 1, х 2 Î [ ], что для всех х Î [ ] f (x 1) £ f (x) £ f (x 2).
