Понятие непрерывной функции

Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий математического анализа.

Определение 5.1. Функция у = f (x), определённая на интервале , называется непрерывной в точке х ₀ , если f (x) = f (x ₀).

Пример 5.1. Доказать непрерывность функции f (x) = 2 х ² + 2 х +1 в точке х ₀ = 1.

Решение. Находим:

1) f (x) = (2 х ² + 2 х +1) = 2 x ² + 2 x + 1 = 2 × 1 + 2 × 1 + 1 = 5.

2) f (1) = 2 × 1² + 2 × 1 + 1 = 5.

Так как f (x) = f (1), то по определению функция f (x) непрерывна в точке х ₀ = 1.

Определение 5.2. Пусть х ₀, х ₀ Î . Разность ∆ х = х − х ₀ называется приращением аргумента в точке х ₀, а разность ∆ у = f (x) − f (x ₀) = f (x ₀ + ∆ x) − f (x ₀) – приращением функции в точке х _0.

Теорема 5.1. Функция у = f (x) непрерывна в точке х ₀ Î тогда и только тогда, когда ∆ у = 0.

Доказательство. 1 Пусть функция у = f (x) непрерывна в точке х ₀ Î . Это означает, что f (x) = f (x ₀). Положим х = х ₀ + ∆ х. Получим

f (x ₀ + ∆ x) = f (x ₀),

откуда f (x ₀ + ∆ x) − f (x ₀) = 0, ((x ₀ + ∆ x) − f (x ₀)) = 0,

т. е. ∆ у = 0.

2 Пусть теперь ∆ у = 0. Тогда ((x ₀ + ∆ x) − f (x ₀)) = 0, откуда f (x ₀ + ∆ x) − f (x ₀) = 0, f (x ₀ + ∆ x) = f (x ₀). Это означает, что функция у = f (x) непрерывна в точке х ₀.

Теорема 5.2. Если функции f (x) и φ(х) непрерывны в точке х ₀, то непрерывны в этой точке их сумма f (x) + φ(x), разность f (x) − φ(x), произведение f (x) × φ(x), а также частное f (x)/φ(x) при условии, что φ(х ₀) ≠ 0.

Доказательство этой теоремы непосредственно следует из определения непрерывности и свойств пределов функций.

Например, непрерывными являются многие элементарные функции:

1) целая рациональная функция P_n (x) = непрерывна при всех х Î R;

2) дробно-рациональная функция R (x) = непрерывна при всех х, для которых знаменатель не обращается в нуль;

3) тригонометрические функции у = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x непрерывны во всех точках области определения.

Теорема 5.3. Пусть функция z = φ(x) непрерывна в точке х ₀, а функция у = f (z) непрерывна в точке z ₀ = φ(x ₀). Тогда сложная функция у = f (φ(x)) непрерывна в точке х ₀.

Эта теорема позволяет сделать вывод о непрерывности функций, которые являются композициями непрерывных функций.

Пример 5.2. Доказать, что функция у = sin x ² непрерывна в точке х ₀ = 0.

Решение. Функция z = x ² непрерывна в точке х ₀ = 0 как целая рациональная функция. Функция у = sin z непрерывна в точке z ₀ = x ₀² = 0, то по теореме 5.3 сложная функция у = sin z = sin x ² непрерывна в точке х ₀ = 0.

Определение 5.3. Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Если функция определена при х = и при этом f (x) = f (), то говорят, что f (x) в точке непрерывна справа. Аналогично, если f (x) = f (), то говорят, что f (x) в точке непрерывна слева. Функция называется непрерывной на , если она непрерывна в каждой его точке (в точке – непрерывна справа, в точке – непрерывна слева).

Функции, непрерывные на отрезке, обладают рядом важных свойств, которые выражаются следующими теоремами.

Теорема 5.4. (первая теорема Больцано-Коши).

Пусть функция f (x) непрерывна на [ ] и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка Î [ ], в которой f () = 0.

Теорема 5.5. (вторая теорема Больцано-Коши).

Пусть функция f (x) непрерывна на [ ], причём f () = A, f () = B. Пусть С – любое число, заключённое между А и В. Тогда на отрезке [ ] найдётся точка такая, что f () = C.

Теорема 5.6. (первая теорема Вейерштрасса).

Если функция f(x) определена и непрерывна на [ ], то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 5.7. (вторая теорема Вейерштрасса).

Если функция f(x) непрерывна на [ ], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего значения и своего наибольшего значения, т. е. существуют такие точки х ₁, х ₂ Î [ ], что для всех х Î [ ] f (x ₁) £ f (x) £ f (x ₂).