Признаки возрастания и убывания функции. Асимптоты

Признаки возрастания и убывания функции

Определение 8.1. Функция у = f (x) на интервале () называется:

а) постоянной, если f (x) = c, где с = const, для любого х Î ();

б) возрастающей, если для любых двух значений х ₁, х ₂ Î () из неравенства х ₁ < х ₂ следует неравенство f (x ₁) < f (x ₂);

в) убывающей, если для любых двух значений х ₁, х ₂ Î () из неравенства х ₁ < х ₂ следует неравенство f (x ₁) > f (x ₂).

 

Теорема 8.1. (достаточное условие возрастания и убывания функции).

Если в данном промежутке производная функции положительна, то функция возрастает в этом промежутке; если производная отрицательна, то функция убывает в соответствующем промежутке; если же производная равна нулю, то функция постоянна на промежутке.

Доказательство. Рассмотрим функцию y = f (x) на (). Возьмём произвольно х ₁, х ₂ Î () такие, что х ₁ < х _2. По теореме Лагранжа

f (x ₂) – f (x ₁) = f '(c)(x ₂ − x ₁), где с Î (х ₁; х ₂).

Возможны следующие случаи:

1) производная f '(x) > 0 на (). Тогда f '(c) > 0, x ₂ − x ₁ > 0 и поэтому f (x ₁) – f (x ₂) > 0, т. е. f (x ₁) < f (x ₂). Следовательно, f (x) возрастает на ();

2) производная f '(x) > 0 на (). Тогда f '(c) > 0, x ₂ − x ₁ > 0 и поэтому f (x ₁) – f (x ₂) < 0, т. е. f (x ₁) > f (x ₂). Следовательно, функция у = f (x) убывает на ();

3) производная f '(x) = 0 на (). Тогда f '(c) = 0, откуда f (x ₁) – f (x ₂) = 0, т. е. f (x ₁) = f (x ₂).

Это означает, что функция у = f (x) постоянна на ().

 

Асимптоты

Если график функции сколь угодно близко приближается к прямой, то такую прямую называют асимптотой. Различают вертикальные и наклонные асимптоты.

Определение 8.2. Прямая х = называется вертикальной асимптотой графика у = f (x), если хотя бы одно из предельных значений f (x), f (x) является бесконечным.

Например, прямая х = 2 – вертикальная асимптота графика у = , так как = −¥, = +¥.

Определение 8.3. Предположим, что функция у = f (x) определена при сколь угодно больших (по модулю) значениях аргумента. Для определённости будем рассматривать положительные значения аргумента. Прямая

у =

называется наклонной асимптотой графика функции у = f (x), если эта функция представима в виде

f (x) = ,

где – бесконечно малая функция при х → +¥.

Теорема 8.2. (необходимые и достаточные условия существования асимптоты).

График функции у = f (x) имеет при х → +¥ наклонную асимптоту у = тогда и только тогда, когда существуют два конечных предела

 

, . (8.1)

Доказательство. Пусть график функции у = f (x) имеет асимптоту у = . Тогда f (x) = , где = 0. Следовательно,

,

.

Обратно. Пусть существуют пределы (8.1). Тогда из равенства можем записать также, что . Это означает, что функция является бесконечно малой функцией при х → +¥. Отсюда f (x) = и по определению прямая у = является наклонной асимптотой.

Пример 8.1. Рассмотрим функцию у = .

Так как = и = , то график функции имеет наклонную асимптоту у = .

Экстремум функции.