Признаки возрастания и убывания функции
Определение 8.1. Функция у = f (x) на интервале (
) называется:
а) постоянной, если f (x) = c, где с = const, для любого х Î ();
б) возрастающей, если для любых двух значений х 1, х 2 Î () из неравенства х 1 < х 2 следует неравенство f (x 1) < f (x 2);
в) убывающей, если для любых двух значений х 1, х 2 Î () из неравенства х 1 < х 2 следует неравенство f (x 1) > f (x 2).
Теорема 8.1. (достаточное условие возрастания и убывания функции).
Если в данном промежутке производная функции положительна, то функция возрастает в этом промежутке; если производная отрицательна, то функция убывает в соответствующем промежутке; если же производная равна нулю, то функция постоянна на промежутке.
Доказательство. Рассмотрим функцию y = f (x) на (). Возьмём произвольно х 1, х 2 Î () такие, что х 1 < х 2. По теореме Лагранжа
f (x 2) – f (x 1) = f '(c)(x 2 − x 1), где с Î (х 1; х 2).
Возможны следующие случаи:
1) производная f '(x) > 0 на (). Тогда f '(c) > 0, x 2 − x 1 > 0 и поэтому f (x 1) – f (x 2) > 0, т. е. f (x 1) < f (x 2). Следовательно, f (x) возрастает на ();
2) производная f '(x) > 0 на (). Тогда f '(c) > 0, x 2 − x 1 > 0 и поэтому f (x 1) – f (x 2) < 0, т. е. f (x 1) > f (x 2). Следовательно, функция у = f (x) убывает на ();
3) производная f '(x) = 0 на (). Тогда f '(c) = 0, откуда f (x 1) – f (x 2) = 0, т. е. f (x 1) = f (x 2).
Это означает, что функция у = f (x) постоянна на ().
Асимптоты
Если график функции сколь угодно близко приближается к прямой, то такую прямую называют асимптотой. Различают вертикальные и наклонные асимптоты.
Определение 8.2. Прямая х = 
называется вертикальной асимптотой графика у = f (x), если хотя бы одно из предельных значений 
f (x), 
f (x) является бесконечным.
Например, прямая х = 2 – вертикальная асимптота графика у = 
, так как 
= −¥, 
= +¥.
Определение 8.3. Предположим, что функция у = f (x) определена при сколь угодно больших (по модулю) значениях аргумента. Для определённости будем рассматривать положительные значения аргумента. Прямая
у = 
называется наклонной асимптотой графика функции у = f (x), если эта функция представима в виде
f (x) = 
,
где 
– бесконечно малая функция при х → +¥.
Теорема 8.2. (необходимые и достаточные условия существования асимптоты).
График функции у = f (x) имеет при х → +¥ наклонную асимптоту у = тогда и только тогда, когда существуют два конечных предела
, 
. (8.1)
Доказательство. Пусть график функции у = f (x) имеет асимптоту у = . Тогда f (x) = 
, где = 0. Следовательно,
,
.
Обратно. Пусть существуют пределы (8.1). Тогда из равенства 
можем записать также, что 
. Это означает, что функция 
является бесконечно малой функцией при х → +¥. Отсюда f (x) = 
и по определению прямая у = 
является наклонной асимптотой.
Пример 8.1. Рассмотрим функцию у = 
.
Так как 
= 
и 
= 
, то график функции имеет наклонную асимптоту у = 
.
Экстремум функции.
