Теорема 8.4. (достаточное условие экстремума)

Пусть функция у = f (x) дифференцируема в некоторой окрестности точки х ₀. Если в точке х = х ₀ производная функции f (x) равна нулю и меняет знак при переходе через точку х ₀, то точка х ₀ является точкой экстремума, причём: 1) х ₀ – точка максимума, если знак меняется с плюса на минус; 2) х ₀ – точка минимума, если знак меняется с минуса на плюс.

Доказательство. Пусть в точке х ₀ производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс, т. е. f '(x ₀) = 0, f '(x) < 0 при х ₀ − δ < x < x ₀, f '(x) > 0 при х ₀ < x < x ₀ + δ (δ > 0). Тогда функция f (x) по теореме о достаточном условии возрастания и убывания функции убывает (х ₀ − δ; х ₀) и возрастает на интервале (х ₀; х ₀ + δ), т. е. f (x ₀) < f (x) для всех х Î О (х ₀, δ) = (х₀ − δ; х ₀ + δ), х ≠ х ₀. Следовательно, х ₀ – точка минимума.

Аналогично рассматривается случай, когда производная меняет знак с плюса на минус.

Достаточное условие экстремума можно выразить также с помощью второй производной.

Теорема 8.5. (достаточное условие экстремума).

Если в точке х = х ₀ первая производная дифференцируема в некоторой окрестности точки х ₀ функции у = f (x) равна нулю, а вторая производная отлична от нуля, то х ₀ является точкой экстремума, причём: 1) х ₀ – точка минимума, если f ''(x ₀) > 0; 2) х ₀ – точка максимума, если f ''(x ₀) < 0.

Пример 8.2. Найти экстремумы функции f (x) = .

Решение. Поскольку f '(x) = , то критическими являются только стационарные точки , , .

Исследуем знак второй производной f ''(x) = в этих точках:

f ''() = 12 × 2 − 20 > 0, f ''(0) = −20 < 0, f ''() = 12 × 5 − 20 > 0.

Следовательно, , – точки минимума, – точка максимума, причём min f (x) = f () = f () = –10, max f (x) = f (0) = 15.

 

Интервалы выпуклости. Точки перегиба

Определение 8.8. График функции у = f (x) называется выпуклым вниз в данном промежутке, если он целиком расположен выше касательной в его произвольной точке (рисунок 8.7). График функции у = f (x) называется выпуклым вверх в данном промежутке, если он целиком расположен ниже касательной в его произвольной точке (рисунок 8.8).

	Рисунок 8.7		Рисунок 8.8

Теорема 8.6. (достаточный признак выпуклости графика функции).

Если вторая производная функции у = f (x) положительна в данном промежутке, то график функции является выпуклым вниз в этом промежутке; если же вторая производная отрицательна в данном промежутке, то график функции является выпуклым вверх в этом промежутке.

Пример 8.3. Найти интервалы выпуклости графика функции f (x) = .

Решение. Найдём вторую производную функции f ''(x) = . Так как f ''(x) < 0 при х < 2 и f ''(x) > 0 при х > 2, то график функции является выпуклым вверх в интервале (−¥; 2) и выпуклым вниз – в интервале (2; +¥).

Определение 8.9. Точкой перегиба графика функции у = f (x) называется такая его точка М ₀ (рисунок 8.9), в которой меняется направление выпуклости.