Рассмотрим функцию у = f (x), определённую на промежутке (
). Пусть х 0 Î (), δ – некоторое положительное число. Будем называть δ -окрестностью точки х 0 интервал (х 0 − δ; х 0 + δ) и обозначать его О (х 0; δ).
Определение 8.4. Если можно указать такую δ-окрестность точки х 0, принадлежащую (), что для всех х Î О (х 0; δ), х ≠ х 0 выполняется неравенство f (x 0) > f (x), то у 0 = f (x 0) называют максимумом функции у = f (x) и обозначают через max f (x) (рисунок 8.1).
Если же для всех х Î О (х 0; δ), х ≠ х 0 выполняется неравенство f (x 0) < f (x), то у 0 = f (x 0) называют минимумом функции у = f (x) и обозначают через min f (x) (рисунок 8.2).
|
|
Отметим, что максимум и минимум функции имеют локальный характер (это наибольшее и наименьшее значение функции в достаточно малой окрестности соответствующей точки); отдельные минимумы некоторой функции могут оказаться больше максимумов той же функции (рисунок 8.3).
Определение 8.5. Максимум и минимум функции называют экстремумом. Значение аргумента, при котором достигается экстремум, называется точкой экстремума.
Теорема 8.3. (необходимое условие экстремума).
В точке экстремума дифференцируемой функции производная её равна нулю.
|
(
< δ, δ > 0) 
, поэтому 
. Теперь
< 0 при 
> 0;
> 0 при < 0;
откуда 
≤ 0,
≥ 0.
Так как функция дифференцируема, то
0 ≤ 
= f '(x 0) = 
≤ 0,
откуда следует f '(x 0) = 0. Аналогично рассматривается случай, когда х 0 – точка минимума функции.
Замечание 8.1. Если f '(x 0) = 0, то отсюда ещё не следует, что х 0 – точка экстремума. Например, для функции f (x) = x 3, f '(x) = 3 x 2, f '(0) = 0, но х 0 = 0 не является точкой экстремума, т. к. f (x) > 0 при х > 0 и f (x) < 0 при х < 0 (рисунок 8.4).
Замечание 8.2. Функция может достигать экстремума также в точке, в которой производная не существует. Например, функция у = 
не имеет производной в точке х 0 = –1, но достигает в ней максимума (рисунок 8.5).
 |
Функция у =
не имеют конечной производной в точке х 0 = 0, т. к. у ' = 
при х = х 0 = 0 обращается в бесконечность, но в этой точке функция имеет минимум (рисунок 8.6).
Определение 8.6. Точка, в которой производная равна нулю, называется стационарной. Стационарные точки, а также точки, в которых функция имеет бесконечную производную или в которой производная не существует, называются критическими.
Таким образом, точки экстремума следует искать среди критических точек.
Определение 8.7. Говорят, что функция у = f (x) меняет знак при переходе через точку х = х 0, если f (x 1) f (x 2) < 0 для любых х 1, х 2 из некоторой окрестности этой точки, удовлетворяющих неравенствам х 1 < x 0 < x 2; знак меняется с плюса на минус, если f (x 1) > 0, f (x 2) < 0; знак меняется с минуса на плюс, если f (x 1) < 0, f (x 2) > 0.
