Взаимное расположение прямых в пространстве

Пусть даны две прямые и .

Очевидно, что прямые лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны, т. е.

= 0. (1.9)

Если в (1.9) первые две строки пропорциональны, то прямые параллельны. Если все три строки пропорциональны, то прямые совпадают. Если условие (1.9) выполнено и первые две строки не пропорциональны, то прямые пересекаются.

Если же ¹ 0, то прямые являются скрещивающимися.

 

Задачи на прямую и плоскость в пространстве

Прямая, как пересечение двух плоскостей

Пусть заданы две плоскости

А ₁х + В ₁у + С ₁ z + D ₁ = 0,

А ₂ х + В ₂ у + С ₂ z + D ₂ = 0.

Если плоскости не являются параллельными, то нарушается условие

.

Пусть, например ¹ . Найдём уравнение прямой, по которой пересекаются плоскости. В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять вектор

= × = = .

Чтобы найти точку, принадлежащую искомой прямой, фиксируем некоторое значение z = z ₀ и решая систему

,

получаем значения х = х ₀, у = у ₀. Итак, искомая точка М (х ₀; у ₀; z ₀).

Искомое уравнение

.

 

Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть задана прямая , , и плоскость А ₁ х + В ₁ у + С ₁ z + D ₁ = 0. Чтобы найти общие точки прямой и плоскости, необходимо решить систему их уравнений

откуда А ₁() + B ₁() + C ₁() + D ₁ = 0,

(A _{1 1} + B _{1 2} + C _{1 3}) t + (A ₁ x ₀ + B ₁ y ₀ + C ₁ z ₀ + D ₁) = 0.

Если А ₁ + В ₁ + С ₁ ¹ 0, то система имеет единственное решение

t = t ₀ = – .

В этом случае прямая и плоскость пересекаются в единственной точке М ₁(х ₁; у ₁; z ₁), где , , .

Если A _{1 1} + B _{1 2} + C _{1 3} = 0, А ₁ x ₀ + В ₁ y ₀ + С ₁ z ₀ + D ₁ ¹ 0, то прямая и плоскость не имеют общих точек, т. е. параллельны.

Если же A_{1 1} + B_{1 2} + C_{1 3} = 0, А ₁ x ₀ + В ₁ y ₀ + С ₁ z ₀ + D ₁ = 0, то прямая принадлежит плоскости.

 

Угол между прямой и плоскостью

Найдём угол j между прямой = = и плоскостью А ₁ х + В ₁ у + С ₁ z + D ₁ = 0.

Поскольку вектор = (А ₁; В ₁; С ₁) образует с направляющим вектором = угол y = – j или y = + j (рисунки 1.3 и 1.4), то

Рисунок 1.3

cosy = cos( – j) или cosy = cos( + j), откуда cosy = sinj или cosy = – sinj.

Рисунок 1.4

Значит,

sinj =ôcosyô= .

Расстояние от точки до плоскости

Пусть плоскость задана общим уравнением Ах +Ву + Сz +D = 0. Расстояние от точки М (х ₀; у ₀; z ₀) до данной плоскости вычисляется по формуле

d = .

 

Поверхности второго порядка

Цилиндры второго порядка

Определение 1.3. Цилиндрической поверхностью называется поверхность, описываемая прямой (образующей), движущейся вдоль некоторой линии (направляющей) и остающейся параллельной исходному направлению.

Определение 1.4. Цилиндром второго порядка называется цилиндрическая поверхность, направляющей которой является эллипс (окружность), гипербола или парабола.

Рассмотрим цилиндры второго порядка, у которых образующая параллельна оси Оz (рисунки 1.5, 1.6, 1.7).

1) Эллиптический цилиндр     Рисунок 1.5 В частности эллиптический цилиндр имеет в качестве направляющей окружность. Его уравнение или .

2) Гиперболический цилиндр Рисунок 1.6 –

3) Параболический цилиндр     Рисунок 1.7 х 2 = 2 ру