Поверхности вращения второго порядка

Определение 1.5. Поверхностью вращения второго порядка называется поверхность, образованная вращением линии второго порядка вокруг её оси (рисунки 1.8–1.12).

1) Эллипсоид вращения     Рисунок 1.8 При вращении эллипса , х = 0 вокруг оси Оz получим поверхность, которая называется эллипсоидом вращения. При а = с получаем сферу х 2 + у 2 + z 2 = a 2.	2) Однополостный гиперболоид                 Рисунок 1.9     Рисунок 1.9     Однополостный гиперболоидобразуется при вращении гиперболы , х = 0 вокруг оси Оz.
3) Двуполостный гиперболоид Рисунок 1.10   Двуполостный гиперболоидобразуется при вращении гиперболы , х = 0 вокруг оси Оz.	4) Конус вращения Рисунок 1.11   Конус вращенияобразуется при вращении прямых , х = 0 вокруг оси Оz.	5) Параболоид вращения х 2 + у 2 = 2 рz или Параболоид вращенияполучается вра-щением параболы у 2 = 2 рz, х = 0 вокруг оси Оz

Поверхности второго порядка

1. Трёхосный эллипсоид (рисунок 1.13).

Рисунок 1.13

2. Однополостный гиперболоид .

 

3. Двуполостный гиперболоид .

 

4. Конус второго порядка .

5. Эллиптический параболоид .

 

6. Гиперболический параболоид (рисунок 1.14).

	Рисунок 1.14

 

Вопросы для самоконтроля

1. Как проверить, лежит ли данная точка на поверхности, заданной уравнением?

2. Всегда ли два уравнения с тремя переменными определяют некоторую линию в пространстве? Приведите примеры.

3. Какое множество точек представляет собой уравнение с двумя переменными, если его рассматривать в пространстве?

4. При каких условиях общее уравнение второй степени с тремя переменными определяет сферу? Как найти ее центр и радиус?

5. Как записать уравнение поверхности вращения, полученной при вращении плоской линии f(x, y) = 0 вокруг оси Ox? Приведите примеры.

6. Каков характерный признак, отличающий уравнение плоскости в декартовых координатах от уравнения других поверхностей?

7. Как будет располагаться плоскость относительно осей координат, если в ее уравнении отсутствуют те или иные члены?

8. Как определить направляющий вектор прямой, если она задана общим уравнением?

9. Как определяется угол между двумя плоскостями, между двумя прямыми, между прямой и плоскостью?

10. Каковы условия перпендикулярности и параллельности двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости?

11. Как найти точку пересечения прямой и плоскости?

12. При каких условиях данная прямая лежит в данной плоскости?

13. Как найти расстояние от точки до плоскости?

14. Напишите виды и уравнения цилиндров второго порядка.

15. Напишите виды и уравнения поверхностей вращения второго порядка.

16. Напишите виды и уравнения поверхностей второго порядка.

 

Линейные пространства