Понятие правой и левой связки двух векторов. Понятие левой и правой тройки векторов

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов , , в трёхмерном пространстве называется правой, если с конца вектора кратчайший поворот от вектора к вектору виден наблюдателю против часовой стрелки. И наоборот, если кратчайший поворот виден по часовой стрелке, то тройка называется левой.

104. Дать определение векторного произведения геометрических векторов и .

Векторное произведение двух векторов и - называется третий вектор , обозначаемый , при этом:

1) Вектор c ортогонален каждому из векторов и ;

2) Если векторы , , отложены от одной точки , то эта тройка будет правой;

, где – угол между векторами и . Если векторы и параллельны, то полагается ;

Свойства векторного произведения.

1)

2) ;

3) ;

4) Величина равна площади параллелограмма, построенного на векторах и ;

5) Если векторы и заданы в правой декартовой системе координат (поворот от вектора к вектору на угол с конца вектора виден, совершающимся против часовой стрелки), то

,

где , .

106. Геометрический смысл |[ , ]|.

1) Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения;

2) Модуль векторного произведения равняется площади параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах и ;

3) Если — единичный вектор, ортогональный векторам и и выбранный так, что тройка , , — правая, а — площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:

4) Если — какой-нибудь вектор, — любая плоскость, содержащая этот вектор, — единичный вектор, лежащий в плоскости и ортогональный к , — единичный вектор, ортогональный к плоскости и направленный так, что тройка векторов , , является правой, то для любого лежащего в плоскости вектора справедлива формула:

.

Формула вычисления векторного произведения, если известны декартовы координаты векторов.

,

где , .

108. Дать определения смешанного произведения трёх векторов.

Смешанное произведение трёх векторов , , – скалярное произведение векторного произведения первых двух на третий:

.

109. Геометрический смысл |( , , )| и знака ( , , ).

С помощью смешанного произведения можно вычислить объём параллелепипеда, построенного на трёх векторах:

Если смешанное произведение больше нуля, то тройка правая, иначе – левая.

110. Как узнать компланарна тройка векторов , , или нет, используя понятие смешанного произведения?

Тройка векторов компланарна тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.