1) Линейный оператор является симметрическим тогда и только тогда, когда его матрица в любом ортонормированном базисе симметрична, т.е. совпадает с транспонированной матрицей оператора.
2) Собственные векторы симметрического линейного оператора, отвечающие различным собственным числам, ортогональны.
3) Собственному числу кратности m симметрического линейного оператора соответствует линейно независимая система из m собственных векторов этого оператора.
4) Для всякого симметрического линейного оператора (симметричной матрицы) существует ортонормированный базис, состоящий из его собственных векторов.
131. Дать определение линейной формы L[y].
Отображение 
линейного пространства 
во множество вещественных чисел называется линейной формой или линейным функционалом, если для любых векторов 
и 
из и любых чисел 
и 
выполняется условие:
132. Запишите общий вид линейной формы. Как вычисляются коэффициенты линейной формы?
Общий вид линейной формы:
Коэффициенты линейной формы подбираются следующим образом: каждый 
-тый коэффициент является 
, где 
– базис.
133. Как изменяются коэффициенты линейной формы при изменении базиса?
Коэффициенты линейной формы преобразуются по тому же закону, что и базисные векторы.
134. Дать определение билинейной формы В( 
, 
).
Билинейная форма – функция 
, линейная каждому из аргументов:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
,
где 
.
Матрица билинейной формы:
Билинейная форма действует на аргументы:
135. Запишите общий вид билинейной формы. Как определяются элементы матрицы билинейной формы?
Общий вид билинейной формы:
Элементы матрицы билинейной формы определяются следующим образом:
136. Какая билинейная форма называется симметричной?
Билинейная форма называется симметричной, если можно поменять аргументы местами и это не повлияет на результат.
137. Как изменяется матрица билинейной формы при изменении базиса?
Матрица, представляющая билинейную форму в новом базисе, связана с матрицей, представляющей её в старом базисе, через матрицу, обратную матрице перехода к новому базису (матрице Якоби), через которую преобразуются координаты векторов.
Иными словами, если координаты вектора в старом базисе 
выражаются через координаты в новом 
через матрицу 
, или в матричной записи 
, то билинейная форма 
на любых векторах и 
запишется, как
,
то есть компоненты матрицы, представляющей билинейную форму в новом базисе, будут:
,
или, в матричной записи:
,
,
где — матрица прямого преобразования координат 
.
138. Дать определение квадратичной формы. Запишите общий вид квадратичной формы при n=3.
Квадратичная форма – функция, определённая в евклидовом пространстве 
соотношением 
, где матрица 
– симметрическая. Общий вид:
,
Где – некоторый ортонормированный базис в и 
. При 
:
