Канонический вид квадратичной формы – случай, когда в квадратичной форме содержатся только квадраты переменных.
Главные оси квадратичной формы – векторы ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет канонический вид.
Опишите процесс приведения квадратичной формы к главным осям.
Для приведения квадратичной формы к главным осям нужно отыскать собственные числа и собственные векторы матрицы 
, а также ортогонализовать полученную систему векторов в случае наличия кратных собственных чисел.
141. Дайте определение уравнения плоской кривой 
относительно декартовой системы координат.
Уравнение 
называется уравнением кривой на плоскости, если координаты 
любой точки 
удовлетворяют этому уравнению, и любое решение уравнения определяет точку, принадлежащую .
142. Запишите уравнение окружности с центром в точке (х0,у0) радиуса R.
Дайте определение уравнения поверхности S относительно декартовой системы координат.
Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида:
или в матричном виде:
в котором, по крайней мере, один из коэффициентов 
, 
, 
, 
, 
, 
отличен от нуля.
144. Дайте определение сферы. Запишите уравнение сферы с центром в точке, М0(х0,у0,z0) радиуса R.
Сфера – замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от центра сферы.
Укажите способы задания кривой в пространстве.
Кривую в пространстве можно задать системой параметрических уравнений:
, причём 
,
либо через вектор-функцию, фактически означающую то же самое: 
.
146. Охарактеризуйте поверхности, задаваемые уравнениями F(x,y)=0, F(x,z)=0, F(y,z)=0.
Все эти поверхности – цилиндрические, разница в расположении: ось вращения будет параллельна оси, координата которой отсутствует в параметрах.
147. Охарактеризуйте поверхность, задаваемую однородным уравнением F(x,y,z)=0. Объясните, какое уравнение называется однородным.
Однородная функция степени 
– функция, для которой при любом значении 
выполняется условие 
Однородное уравнение – уравнение 
, в котором функция 
является однородной.
Однородным уравнением определяется коническая поверхность с вершиной в начале координат.
148. Охарактеризуйте поверхности, задаваемые уравнениями типа F(x, 
)=0, F(y, 
)=0, F(z, 
)=0.
Как мы видим, эти уравнения очень похожи на уравнения цилиндров, из чего мы можем сделать вывод, что это цилиндрические поверхности с очень странной формой.
