Лекции.Орг
 

Категории:


Экологические группы птиц Астраханской области: Птицы приспособлены к различным условиям обитания, на чем и основана их экологическая классификация...


Архитектурное бюро: Доминантами формообразования служат здесь в равной мере как контекст...


ОБНОВЛЕНИЕ ЗЕМЛИ: Прошло более трех лет с тех пор, как Совет Министров СССР и Центральный Комитет ВКП...

КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА



Краткая теория

Положение материальной точки или твердого тела при заданной оси вращения определяется углом поворота или угловым перемещением , которое направлено вдоль оси, вокруг которой вращается тело, в сторону, определяемую правилом правого винта (рис. 2.1). Направление вектора поворота связывают с направлением вращения тела. Следовательно, является не истинным вектором, а псевдовектором.

Средняя угловая скорость и среднее угловое ускорение материальной точки

 

, (2.1)

где - изменение угла поворота за интервал времени .

Мгновенная угловая скорость материальной точки

 

. (2.2)

Мгновенное угловое ускорение

. (2.3)

 

Направление векторов угловой скорости и углового ускорения совпадают с осью вращения (рис.2.1). Угловая скорость, угловое ускорение, как и угловое перемещение, являются псевдовекторами.

Частота вращения

(2.4)

где - число оборотов, совершаемых телом за время ; - период вращения (время одного полного оборота).

Число оборотов N, совершаемых телом при вращательном движении, связано с углом поворота φ соотношением:

 

N=2πφ. (2.5)

 

УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫХ ВИДОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Кинематическое уравнение равномерного вращательного движения

, (2.6)

где - начальное угловое перемещение; - время. При равномерном вращении

Кинематическое уравнение равнопеременного вращательного движения ( )

, (2.7)

где - начальная угловая скорость.

Угловая скорость тела при равнопеременном вращательном движении

. (2.8)

СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ И УГЛОВЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИМИ ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Длина пути, пройденного материальной точкой по дуге окружности радиусом при повороте на угол Δφ (рис.2.1)

 

. (2.9)

 

Связь между линейной и угловой скоростью(рис.2.2)

; . (2.10)

 

Связь между тангенциальным и угловым ускорением(рис.2.2)

. (2.11)

Связь между нормальным ускорением и угловой скоростью

- (2.12)

 

 

ТАБЛИЦА АНАЛОГИЙ

 

КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
, при , при
, при , при
, при , при

Вопросы для самоподготовки

 

1. Сформулируйте определение вращательного движения твердого тела.

2. Назовите основные кинематические характеристики вращательного движения, дайте им определение.

3. Объясните, почему линейное перемещение, скорость и ускорение не являются характеристиками вращательного движения твердого тела.

4. Дайте определение периода и частоты вращения.

5. Выведите кинематические уравнения равномерного и равнопеременного вращательного движения.

6. Выведите уравнение угловой скорости при равнопеременном вращательном движении.

7. Назовите формулы связи кинематических характеристик поступательного и вращательного движения.

8. Покажите аналогию между основными характеристиками поступательного и вращательного движения.

9. Материальная точка М движется по окружности со скоростью . На рисунке показан график зависимости проекции скорости vτ от времени ( - единичный вектор положительного направления, vτ – проекция на это направление). Как при этом меняется величина нормального an и тангенциального aτ ускорения материальной точки?

 
 

 

 


Примеры решения задач

2.1.Материальная точка начинает двигаться по окружности радиуса r=10 см с постоянным касательным ускорением aτ=0,4 см/с2. Найти:

1) момент времени t от начала вращения, при котором вектор полного ускорения образует с вектором скорости угол β=450;

2) путь, пройденный материальной точкой за это время;

3) угол поворота материальной точки по окружности за это время.

 

Дано: Найти:

r=10 см; 1) t;

aτ=0,4 см/с2; 2) s;

β =450.3) φ.

 

 

Решение:

 

1. По условию задачи материальная точка движется по окружности с постоянным касательным ускорением . Следовательно, мгновенную скорость движущейся точки при v0=0 можно найти по формуле (1.25), откуда

.

 

 

Скорость v и нормальное ускорение an=v2/r непрерывно возрастают со временем, а вектор полного ускорения со временем изменяется как по модулю, так и по направлению. Так как векторы и в данный момент времени всегда одинаково направлены, то угол β между векторами и зависит от соотношения между нормальным an и касательным aτ ускорениями:

.

Тогда искомый момент времени найдем из соотношения:

.

2. В соответствии с формулой (1.22) путь, пройденный материальной точкой за это время

.

3. Угол поворота φ при вращательном движении линейно зависит от пройденного пути по формуле (2.9) и также изменяется со временем по квадратичному закону. Тогда угол поворота материальной точки в момент времени t=5c равен:

φ .

 

Ответ: 1. ; 2. ; 3. φ .

 

2.2. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением , где - постоянный вектор, - угол поворота из начального положения. Найти угловую скорость тела в зависимости от угла .

Дано: Найти:

. .

 

Решение:

Выберем положительное направление оси z вдоль вектора . Согласно формуле (2.3), . Представив dt по формуле (2.2) как , можно преобразовать предыдущее уравнение к виду

. (1)

Проинтегрируем выражение (1) с учетом начального условия ( , ):

;

.

.

Ответ: .

 

 

2.3. Круглый конус с радиусом основания R и высотой h катится без скольжения по поверхности стола, как показано на рисунке 2.5. Вершина конуса закреплена шарнирно в точке О на уровне точки С – центра основания конуса. Точка С движется с постоянной скоростью v. Найти угловую скорость .

Дано: Найти:

R, .

h,

v.

Решение:

 

1. За промежуток времени dt цилиндр совершит поворот d вокруг оси ОC и одновременно поворот d вокруг оси ОО/. Суммарный поворот . Поделив обе части этого равенства на dt, получим

, (1)

где и - угловые скорости вращения вокруг осей ОО/ и ОС соответственно. Модули векторов и можно найти, используя выражение (2.10): ,

тогда , . (2)

 

 
 
Рис.2.5 к примеру решения задач № 2.3

 


Их отношение . Модуль вектора можно найти по теореме Пифагора, используя выражения (2):

.

Ответ: .

 

 





Дата добавления: 2015-11-05; просмотров: 4422 | Нарушение авторских прав


Рекомендуемый контект:


Похожая информация:

Поиск на сайте:


© 2015-2019 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.011 с.