Кинематика вращательного движения материальной точки и твердого тела

Краткая теория

Положение материальной точки или твердого тела при заданной оси вращения определяется углом поворота или угловым перемещением , которое направлено вдоль оси, вокруг которой вращается тело, в сторону, определяемую правилом правого винта (рис. 2.1). Направление вектора поворота связывают с направлением вращения тела. Следовательно, является не истинным вектором, а псевдовектором.

Средняя угловая скорость и среднее угловое ускорение материальной точки

, (2.1)

где - изменение угла поворота за интервал времени .

Мгновенная угловая скорость материальной точки

. (2.2)

Мгновенное угловое ускорение

. (2.3)

Направление векторов угловой скорости и углового ускорения совпадают с осью вращения (рис.2.1). Угловая скорость, угловое ускорение, как и угловое перемещение, являются псевдовекторами.

Частота вращения

(2.4)

где - число оборотов, совершаемых телом за время ; - период вращения (время одного полного оборота).

Число оборотов N, совершаемых телом при вращательном движении, связано с углом поворота φ соотношением:

N=2πφ. (2.5)

УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫХ ВИДОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Кинематическое уравнение равномерного вращательного движения

, (2.6)

где - начальное угловое перемещение; - время. При равномерном вращении

Кинематическое уравнение равнопеременного вращательного движения ()

, (2.7)

где - начальная угловая скорость.

Угловая скорость тела при равнопеременном вращательном движении

. (2.8)

СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ И УГЛОВЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИМИ ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Длина пути, пройденного материальной точкой по дуге окружности радиусом при повороте на угол Δ φ (рис.2.1)

. (2.9)

Связь между линейной и угловой скоростью (рис.2.2)

; . (2.10)

Связь между тангенциальным и угловым ускорением (рис.2.2)

. (2.11)

Связь между нормальным ускорением и угловой скоростью

- (2.12)

ТАБЛИЦА АНАЛОГИЙ

КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ	КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ





, при	, при
, при	, при
, при	, при

Вопросы для самоподготовки

1. Сформулируйте определение вращательного движения твердого тела.

2. Назовите основные кинематические характеристики вращательного движения, дайте им определение.

3. Объясните, почему линейное перемещение, скорость и ускорение не являются характеристиками вращательного движения твердого тела.

4. Дайте определение периода и частоты вращения.

5. Выведите кинематические уравнения равномерного и равнопеременного вращательного движения.

6. Выведите уравнение угловой скорости при равнопеременном вращательном движении.

7. Назовите формулы связи кинематических характеристик поступательного и вращательного движения.

8. Покажите аналогию между основными характеристиками поступательного и вращательного движения.

9. Материальная точка М движется по окружности со скоростью . На рисунке показан график зависимости проекции скорости v_τ от времени ( - единичный вектор положительного направления, v_τ – проекция на это направление). Как при этом меняется величина нормального a_n и тангенциального a _τ ускорения материальной точки?

Примеры решения задач

2.1. Материальная точка начинает двигаться по окружности радиуса r =10 см с постоянным касательным ускорением a _τ=0,4 см/с². Найти:

1) момент времени t от начала вращения, при котором вектор полного ускорения образует с вектором скорости угол β= 45⁰;

2) путь, пройденный материальной точкой за это время;

3) угол поворота материальной точки по окружности за это время.

Дано: Найти:

r =10 см; 1) t;

a _τ=0,4 см/с²; 2) s;

β =45⁰.3) φ.

Решение:

1. По условию задачи материальная точка движется по окружности с постоянным касательным ускорением . Следовательно, мгновенную скорость движущейся точки при v₀=0 можно найти по формуле (1.25), откуда

Скорость v и нормальное ускорение a_n=v²/r непрерывно возрастают со временем, а вектор полного ускорения со временем изменяется как по модулю, так и по направлению. Так как векторы и в данный момент времени всегда одинаково направлены, то угол β между векторами и зависит от соотношения между нормальным a_n и касательным a _τ ускорениями:

Тогда искомый момент времени найдем из соотношения:

2. В соответствии с формулой (1.22) путь, пройденный материальной точкой за это время

3. Угол поворота φ при вращательном движении линейно зависит от пройденного пути по формуле (2.9) и также изменяется со временем по квадратичному закону. Тогда угол поворота материальной точки в момент времени t =5c равен:

φ .

Ответ: 1. ; 2. ; 3. φ .

2.2. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением , где - постоянный вектор, - угол поворота из начального положения. Найти угловую скорость тела в зависимости от угла .

Дано: Найти:

. .

Решение:

Выберем положительное направление оси z вдоль вектора . Согласно формуле (2.3), . Представив dt по формуле (2.2) как , можно преобразовать предыдущее уравнение к виду

. (1)

Проинтегрируем выражение (1) с учетом начального условия (, ):

;

Ответ: .

2.3. Круглый конус с радиусом основания R и высотой h катится без скольжения по поверхности стола, как показано на рисунке 2.5. Вершина конуса закреплена шарнирно в точке О на уровне точки С – центра основания конуса. Точка С движется с постоянной скоростью v. Найти угловую скорость .

Дано: Найти:

R, .

Решение:

1. За промежуток времени dt цилиндр совершит поворот d вокруг оси ОC и одновременно поворот d вокруг оси ОО^/. Суммарный поворот . Поделив обе части этого равенства на dt, получим

, (1)

где и - угловые скорости вращения вокруг осей ОО ^/ и ОС соответственно. Модули векторов и можно найти, используя выражение (2.10): ,

тогда , . (2)

Рис.2.5 к примеру решения задач № 2.3

Их отношение . Модуль вектора можно найти по теореме Пифагора, используя выражения (2):

Ответ: .