Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Вопрос 29.1. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью




Рассмотрим уравнение

.

Его общее решение имеет вид , где - частное решение неоднородного дифференциального уравнения, а - общее решение однородного дифференциального уравнения. Метод нахождения решения рассмотрен в лекции № 28. Для этого нужно найти фундаментальную систему решений. Зная ее можно методом вариации постоянных найти и частное решение линейного неоднородного уравнения. Если правая часть уравнения имеет специальный вид, то частное решение можно найти без использования метода вариации постоянных. Рассмотрим два важных случая.

1-Й СЛУЧАЙ

,

где a ‑ константа, ‑ многочлен n -й степени. Если a не корень характеристического многочлена, то частное решение нужно искать в виде

,

где - многочлен n -й степени с неопределенными коэффициентами. Его коэффициенты определяются после подстановки в уравнение методом неопределенных коэффициентов.

Если a корень характеристического уравнения кратности r, то частное решение нужно искать в виде

.

Рассмотрим случай, когда a = 0. Тогда , поэтому частное решение имеет вид

,

если 0 не корень характеристического уравнения и

,

если 0 корень характеристического уравнения кратности r.

Пример 29.1. Решить уравнение .

Составим характеристическое уравнение , его корни равны , .

В правой части стоит многочлен нулевой степени, поэтому и частное решение будем искать в виде

.

Отсюда , подставляя в уравнение, получим . Тогда и общее решение равно .

Конец примера.

Пример 29.2. Решить уравнение .

Характеристическое уравнение здесь такое же, как и в примере 29.1. В правой части находится многочлен первой степени, поэтому . Следовательно, частное решение уравнения имеет вид

.

Вычислим производные

,

и подставим их в уравнение, тогда получим

,

или

.

Отсюда

,

.

Отсюда , а общее решение есть

.

Конец примера.

Пример 29.3. Решить уравнение .

Составим характеристическое уравнение , его корни равны , .

В правой части стоит многочлен первой степени, умноженный на , поэтому и частное решение будем искать в виде

.

Вычислим производные

Отсюда, подставляя в уравнение, получим

.

После сокращения на , получаем соотношение

.

Отсюда

,

или

,

то есть

,

а общее решение есть

.

Конец примера.

2-Й СЛУЧАЙ

 

Здесь a и b числа, - многочлены n -й и m -й степени. Если комплексное число a+ib не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищут в виде

 

,

 

где N=max(n,m) - максимальное из чисел n,m - многочлены степени N с неопределенными коэффициентами, которые нужно найти, подставляя в уравнение.

Если комплексное число a+ib является корнем характеристического уравнения кратности r (для квадратного уравнения кратность комплексного корня может быть равной только 1), то частное решение нужно искать в виде

 

.

 

Рассмотрим случай, когда a = 0. Тогда , поэтомучастное решение имеет вид

 

,

 

если ib не корень характеристического уравнения и

 

,

 

если ib корень характеристического уравнения кратности r.

 

Пример 29.4. Решить уравнение .

Корни характеристического уравнения и . Число a+ib = 1+i не является корнем характеристического уравнения, , поэтому частное решение ищем в виде

Вычислим производные

Подставляя в уравнение, получим

Сокращая на и приводя подобные, получим

Приравнивая коэффициенты при cos x и sin x, получим

Отсюда получаем

А общее решение .

КОНЕЦ ПРИМЕРА.

ПРИМЕР 5. Решить уравнение .

 

Характеристическое уравнение имеет корни , число есть корень характеристического уравнения кратности r = 1, поэтому частное решение ищем в виде

Вычисляя производные найдем

и подставляя в уравнение, получим

или

Отсюда .

Тогда , а общее решение

.

Конец примера.






Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-11-05; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 987 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Даже страх смягчается привычкой. © Неизвестно
==> читать все изречения...

2456 - | 2156 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.133 с.