Рассмотрим уравнение
.
Его общее решение имеет вид , где - частное решение неоднородного дифференциального уравнения, а - общее решение однородного дифференциального уравнения. Метод нахождения решения рассмотрен в лекции № 28. Для этого нужно найти фундаментальную систему решений. Зная ее можно методом вариации постоянных найти и частное решение линейного неоднородного уравнения. Если правая часть уравнения имеет специальный вид, то частное решение можно найти без использования метода вариации постоянных. Рассмотрим два важных случая.
1-Й СЛУЧАЙ
,
где a ‑ константа, ‑ многочлен n -й степени. Если a не корень характеристического многочлена, то частное решение нужно искать в виде
,
где - многочлен n -й степени с неопределенными коэффициентами. Его коэффициенты определяются после подстановки в уравнение методом неопределенных коэффициентов.
Если a корень характеристического уравнения кратности r, то частное решение нужно искать в виде
.
Рассмотрим случай, когда a = 0. Тогда , поэтому частное решение имеет вид
,
если 0 не корень характеристического уравнения и
,
если 0 корень характеристического уравнения кратности r.
Пример 29.1. Решить уравнение .
Составим характеристическое уравнение , его корни равны , .
В правой части стоит многочлен нулевой степени, поэтому и частное решение будем искать в виде
.
Отсюда , подставляя в уравнение, получим . Тогда и общее решение равно .
Конец примера.
Пример 29.2. Решить уравнение .
Характеристическое уравнение здесь такое же, как и в примере 29.1. В правой части находится многочлен первой степени, поэтому . Следовательно, частное решение уравнения имеет вид
.
Вычислим производные
,
и подставим их в уравнение, тогда получим
,
или
.
Отсюда
,
.
Отсюда , а общее решение есть
.
Конец примера.
Пример 29.3. Решить уравнение .
Составим характеристическое уравнение , его корни равны , .
В правой части стоит многочлен первой степени, умноженный на , поэтому и частное решение будем искать в виде
.
Вычислим производные
Отсюда, подставляя в уравнение, получим
.
После сокращения на , получаем соотношение
.
Отсюда
,
или
,
то есть
,
а общее решение есть
.
Конец примера.
2-Й СЛУЧАЙ
Здесь a и b числа, - многочлены n -й и m -й степени. Если комплексное число a+ib не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищут в виде
,
где N=max(n,m) - максимальное из чисел n,m - многочлены степени N с неопределенными коэффициентами, которые нужно найти, подставляя в уравнение.
Если комплексное число a+ib является корнем характеристического уравнения кратности r (для квадратного уравнения кратность комплексного корня может быть равной только 1), то частное решение нужно искать в виде
.
Рассмотрим случай, когда a = 0. Тогда , поэтомучастное решение имеет вид
,
если ib не корень характеристического уравнения и
,
если ib корень характеристического уравнения кратности r.
Пример 29.4. Решить уравнение .
Корни характеристического уравнения и . Число a+ib = 1+i не является корнем характеристического уравнения, , поэтому частное решение ищем в виде
Вычислим производные
Подставляя в уравнение, получим
Сокращая на и приводя подобные, получим
Приравнивая коэффициенты при cos x и sin x, получим
Отсюда получаем
А общее решение .
КОНЕЦ ПРИМЕРА.
ПРИМЕР 5. Решить уравнение .
Характеристическое уравнение имеет корни , число есть корень характеристического уравнения кратности r = 1, поэтому частное решение ищем в виде
Вычисляя производные найдем
и подставляя в уравнение, получим
или
Отсюда .
Тогда , а общее решение
.
Конец примера.