Вопрос 29.1. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью

Рассмотрим уравнение

Его общее решение имеет вид , где - частное решение неоднородного дифференциального уравнения, а - общее решение однородного дифференциального уравнения. Метод нахождения решения рассмотрен в лекции № 28. Для этого нужно найти фундаментальную систему решений. Зная ее можно методом вариации постоянных найти и частное решение линейного неоднородного уравнения. Если правая часть уравнения имеет специальный вид, то частное решение можно найти без использования метода вариации постоянных. Рассмотрим два важных случая.

1-Й СЛУЧАЙ

где a ‑ константа, ‑ многочлен n -й степени. Если a не корень характеристического многочлена, то частное решение нужно искать в виде

где - многочлен n -й степени с неопределенными коэффициентами. Его коэффициенты определяются после подстановки в уравнение методом неопределенных коэффициентов.

Если a корень характеристического уравнения кратности r, то частное решение нужно искать в виде

Рассмотрим случай, когда a = 0. Тогда , поэтому частное решение имеет вид

если 0 не корень характеристического уравнения и

если 0 корень характеристического уравнения кратности r.

Пример 29.1. Решить уравнение .

Составим характеристическое уравнение , его корни равны , .

В правой части стоит многочлен нулевой степени, поэтому и частное решение будем искать в виде

Отсюда , подставляя в уравнение, получим . Тогда и общее решение равно .

Конец примера.

Пример 29.2. Решить уравнение .

Характеристическое уравнение здесь такое же, как и в примере 29.1. В правой части находится многочлен первой степени, поэтому . Следовательно, частное решение уравнения имеет вид

Вычислим производные

и подставим их в уравнение, тогда получим

или

Отсюда

Отсюда , а общее решение есть

Конец примера.

Пример 29.3. Решить уравнение .

Составим характеристическое уравнение , его корни равны , .

В правой части стоит многочлен первой степени, умноженный на , поэтому и частное решение будем искать в виде

Вычислим производные

Отсюда, подставляя в уравнение, получим

После сокращения на , получаем соотношение

Отсюда

или

то есть

а общее решение есть

Конец примера.

2-Й СЛУЧАЙ

Здесь a и b числа, - многочлены n -й и m -й степени. Если комплексное число a+ib не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищут в виде

где N=max(n,m) - максимальное из чисел n,m - многочлены степени N с неопределенными коэффициентами, которые нужно найти, подставляя в уравнение.

Если комплексное число a+ib является корнем характеристического уравнения кратности r (для квадратного уравнения кратность комплексного корня может быть равной только 1), то частное решение нужно искать в виде