Лекция № 28. Дифференциальные уравнения

Вопрос 1. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Фундаментальная система решений.

Рассмотрим линейное дифференциальное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

Будем искать решение этого уравнения в виде . Вычисляя производные

и подставляя их в уравнение, получим

Так как , то сокращая на, получим квадратное уравнение для определения

Это квадратное уравнение называется характеристическим уравнением. Рассмотрим следующие три случая:

1) характеристическое уравнение имеет разные вещественные корни, то есть его дискрименант строго положителен (D > 0).

Обозначим эти корни через . Тогда получаем два решения

Эти решения образуют Ф.С.Р., так как их определитель Вронского отличен от нуля в точке x = 0

Следовательно, общее решение этого уравнения дается формулой

2) характеристическое уравнение имеет один вещественный корень, то есть его дискрименант D = 0.

В этом случае имеется одно решение . Зная его, найдем второе решение , используя формулу (смотри лекцию № 8)

Так как D = 0, то . Поэтому получаем

следовательно,

Итак фундаментальная система решений имеет вид

Общее решение уравнения есть

3) характеристическое уравнение имеет комплексные корни , то есть его дискрименант D < 0.

Тогда имеется два решения

Эти решения являются комплексными функциями вещественного аргумента x. Удобно искать решения в виде вещественных функций. Для этого используем формулы Эйлера