Вопрос 25.1. Метод Рунге-Кутта.
Пусть 
есть точное решение задачи Коши. Если 
имеет непрерывные производные вплоть до n -го порядка включительно, то имеет производные до n +1 до порядка, поэтому по формуле Тейлора получим
.
Тогда при малых значениях h имеем приближенную формулу:
.
Эту формулу можно положить в основу численного метода
(1)
где
и т.д.
Метод (3) называют методом p -го порядка. Чем выше порядок метода, тем он точнее и можно брать более крупный шаг h. Метод Эйлера имеет порядок 
, он самый простейший и поэтому его точность часто недостаточно велика, и необходимо использовать методы более высоких порядков или брать очень маленькие величины h. С ростом p вычисление производных быстро усложняется и метод (1) поэтому не находит применения при значениях 
. Вместо этого метода, Рунге и Кутт предложили другой метод, наиболее распространенный в наше время. Если в i -м узле 
известно, то решение в этом узле берут в виде
(2)
где
Параметры 
выбирают так, чтобы метод имел требуемый порядок p, то есть, чтобы при разложении (2) по степеням h это разложение совпадало с (1) до степени 
включительно.
Пример 25.1. Метод Рунге-Кутта 2-го порядка.
Требуется получить семейство методов 2-го порядка. Пусть
Разложим 
по формуле Тейлора до слагаемых порядка h
Отсюда, чтобы получить метод второго порядка, необходимо выполнение равенств
Тогда получим
Тогда получаем семейство методов Рунге-Кутта 2-го порядка
Наиболее часто используется схема предиктор-корректор a=1
а так же усовершенствованный метод Эйлера 
Конец примера.
Наиболее часто используется метод Рунге - Кутта 4-го порядка
Для оценки погрешности разностного метода существует эмпирическое правило Рунге:
Если 
- решение, полученное на сетке с шагом h, а 
- решение, полученное на сетке с шагом 
, то в общих узлах погрешность вычислений приближенно равна
, где p порядок метода.
Составим таблицу:
Метод Эйлера 
Метод Рунге - Кутта второго порядка 
.
Метод Рунге - Кутта четвертого порядка 
.
Полученное решение можно уточнить по формуле Ричардсона
,
повысив порядок метода еще на единицу.
Пример 25.2. Найти численное решение задачи Коши методом Рунге-Кутта второго порядка (схема предиктор - корректор)
Пусть h = 0.25, результаты расчетов приведем в таблице
Таблица 1.
| i |
| 
| 
| 
|
| 0.0 | 0.23529 | |||
| 0.25 | 1.02941 | 0.22933 | 0.37971 | |
| 0.5 | 1.10554 | 0.37547 | 0.44954 | |
| 0.75 | 1.20867 | 0.44801 | 0.48126 | |
| 1.0 | 1.32483 |
Пусть h = 0.125, результаты расчетов приведем в таблице
Таблица 2. (
‑ уточнение по Ричардсону)
| I |
|
|
|
| 
|
|
| 0.0 | 0.12308 | |||||
| 0.125 | 1.00769 | 0.12217 | 0.23061 | |||
| 0.25 | 1.02974 | 0.22927 | 0.31479 | 0.00011 | 1.02985 | |
| 0.375 | 1.06374 | 0.31356 | 0.37605 | |||
| 0.5 | 1.10685 | 0.37517 | 0.41881 | 0.00043 | 1.10728 | |
| 0.625 | 1.15647 | 0.41827 | 0.44800 | |||
| 0.75 | 1.21061 | 0.44769 | 0.46765 | 0.00065 | 1.21126 | |
| 0.875 | 1.26782 | 0.46749 | 0.58482 | |||
| 1.0 | 1.33359 | 0.00292 | 1.33651 |
Конец примера.
