Вопрос 15.1. Градиент и производная по направлению функции нескольких переменных.
Определение 15.1. Векторным полем называется закон, по которому каждой точке X из некоторого множества M арифметического пространства 
ставится в соответствие один и только один вектор.
Определение 15.2. Градиентом функции нескольких переменных 
называется векторное поле, определяемое по закону
.
Для функций 2-х и 3-х переменных градиент можно записать соответственно в виде
Замечание 15.1. Удобно точку X рассматривать как n ‑мерный вектор 
.
Градиент вектора обладает следующими двумя свойствами:
Свойство 15.1. Если 
, то 
.
Доказательство очевидно.
Свойство 15.2. (линейность градиента). Пусть даны два векторных поля 
и 
, которые имеют градиент в точке , тогда
,
где 
и 
‑ действительные числа.
Доказательство. Доказательство основано на свойстве линейности частных производных
Конец доказательства.
Определение 15.3. Производной по направлению, заданным единичным вектором 
, в точке от функции нескольких переменных называется величина
.
Связь между градиентом и производной функцией по направлению определяется теоремой
Теорема 15.1. Если в точке функция дифференцируема, то
.
где ‑ вектор единичной длины.
Доказательство. Пусть 
приращение аргумента, тогда полное приращение дифференцируемой функции равно
,
где 
‑ бесконечномалые функции при 
. Так как
,
то полное приращение функции равно
.
Отсюда следует доказываемая формула.
Конец доказательства.
Рассмотрим свойства производной по направлению
Свойство 15.1. Если , то 
.
Доказательство очевидно.
Свойство 15.2. Изменение вектора направления на противоположный меняет знак производной по направлению
.
Доказательство. Формула следует из равенства
.
Конец доказательства.
Свойство 3. (линейность производной по направлению). Пусть даны два дифференцируемых векторных поля и , тогда
,
где и ‑ действительные числа.
Доказательство. Из теоремы 15.1 следует
Конец доказательства.
Теорема 15.2. Градиент дифференцируемой функции в точке указывает на направление наискорейшего возрастания функции в точке .
Доказательство. Действительно, производная по направлению указывает на скорость возрастания функции в указанном направлении. Так как ( ‑ угол между векторами)
,
то производная по направлению будет максимальна, если 
, то есть если вектор будет параллелен градиенту.
Конец доказательства.
Пример 15.1. Вычислить производную по направлению вектора 
от функции 
и градиент в точке M (1,3).
.
Вектор 
тогда
.
Конец примера.
Замечание 15.1. В некоторых случаях удобно пользоваться такими понятиями как направляющие косинусы. Под этим понимают косинус угла между направляющим вектором и соответствующей осью координат. Если 
‑ единичный вектор, то направляющие косинусы определяются из соотношения
,
где 
‑ орт декартовой системы.
Теорема 15.2. Градиент функции перпендикулярен линии или поверхности равного уровня.
Доказательство. Ограничимся функциями 2-х переменных и докажем, что градиент перпендикулярен линии постоянного уровня, то есть в любой точке линии постоянного уровня градиент перпендикулярен касательной, проведенной к этой точке. Для функции 2-х переменных можно показать, что уравнение касательной к линии 
в точке 
равно:
.
Откуда следует, что градиент функции 
перпендикулярен вектору 
, то есть самой касательной.
Определение 15.5. Нормалью к графику функции 
в точке называется прямая перпендикулярная любой касательной в этой точке плоскости. Так как уравнение касательной в точке 
плоскости имеет вид
,
то вектор с координатами 
будет параллелен нормали в точке , следовательно, уравнение нормали
.
Пример 15.2. Для функции 
вычислить в точке 
уравнение касательной плоскости и нормали.
,
тогда получаем:
уравнение касательной плоскости
,
уравнение нормали
.
Конец примера.
