Теорема 7.5. Если 
имеет непрерывную 
‑ю производную на отрезке 
, то справедлива формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме
Доказательство. По формуле Ньютона – Лейбница, интегрируя по частям n раз, получим
Конец доказательства.
ЛЕКЦИЯ № 8. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Вопрос 8.1. Формула трапеций.
Теорема 8.1. (Обобщенная теорема о среднем значении). Пусть функция непрерывна на отрезке , а функция 
интегрируема и неотрицательна (
) на этом отрезке. Тогда справедлива формула
,
где c принадлежит отрезку .
Доказательство. Так как непрерывна на , то она достигает своего минимального и минимального значения на этом отрезке. Пусть m ‑ минимальное, а M ‑ максимальное значения функции на отрезке . Тогда 
. Интегрируя это неравенство, умноженное на функцию , получим
или
.
Интеграл 
существует, так как произведение интегрируемых функций является интегрируемой функцией. В силу непрерывности функции всегда найдется точка c, в которой достигается указанное промежуточное значение между m и M. Следовательно
.
Конец доказательства.
Теорема 8.2. (Формула трапеций). Если имеет непрерывную вторую производную на отрезке , то справедлива формула
,
где 
‑ остаточный член формулы трапеций, равный
.
Пояснение. Так как (см. рис. 1)
Рис. 1. Формула трапеций.
есть площадь трапеции, высотой 
и основаниями 
и 
, то смысл формулы состоит в том, что значение интеграла, равное площади криволинейной трапеции, равно площади обычной трапеции (для неотрицательных функций).
Доказательство. Используем формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме
.
Обозначим через 
функцию 
, и разложим ее в ряд Тейлора
.
Аналогично разложим функцию
.
Но 
. Пусть 
, тогда
Откуда
.
Подынтегральная функция
,
тогда по обобщенной теореме о среднем значении получим
.
Интегрируя, получим
.
Определение 8.1. Длины отрезков разбиения называются шагами интегрирования, а их концы называются узлами интегрирования. Формулы интегрирования называются составными или усложненными.
Рассмотрим усложненную формулу трапеций с постоянным шагом интегрирования h и узлами
.
Тогда
где
Пусть m ‑ минимальное, а M ‑ максимальное значение 
на отрезке . Тогда 
. Складывая эти неравенства с 
, получим
или
.
В силу непрерывности пробегает все промежуточные значения от m до M, поэтому существует точка c, такая что
.
Так как 
, то
.
Отсюда получим усложненную формулу трапеций
,
.
