Вопрос 10.1. Длина плоской кривой

Пусть L плоская кривая, начало и конец которой расположены в точках A и B. Разобьем кривую AB n +1 точкой . Соединим их отрезками прямых, тогда получим ломаную . Пусть ‑ длина i -го звена ломаной. Положим . Тогда, если существует предел

то его называют длиной дуги AB, а саму кривую называют спрямляемой (см. рис. 1).

Рис. 1. Длина плоской кривой.

Определение 10.1. Пусть две непрерывные функции на отрезке . Уравнения вида

называются параметрическими уравнениями плоской непрерывной кривой, переменную t ‑ называют параметром. Если и непрерывные функции, то кривая называется гладкой.

Теорема 10.1. Пусть L ‑ параметрически заданная гладкая кривая, тогда ее длина равна

Доказательство. Разобьем отрезок на части точками . Пусть эти значения параметра соответствуют точкам кривой . Длина i -го звена ломаной равна

По теореме Лагранжа

Тогда

составив сумму длин всех звеньев ломаной, получим интегральную сумму

которая, в силу непрерывности производных при , сходится к интегралу

Конец доказательства.

Если кривая задана функций , нетрудно получить формулу длины гладкой кривой, если положить

тогда , и, следовательно,

Пример 10.1. Вычислить длину параболы на отрезке .

={интегрируем по частям}=

Решая уравнение, получим

Определение 10.2. Кривая называется замкнутой, если значениям параметра и соответствует одна и также точка кривой (см. рис. 2).

Определение 10.3. Если некоторому внутреннему значению параметра соответствуют две разные точки кривой, то кривая называется самопересекающейся (см. рис. 2).

Рис 2. Замкнутая и самопересекающая кривые.

Вопрос 10.2. Кривизна и радиус кривизны плоской кривой.

Пусть плоская кривая задана функцией , имеющей непрерывную вторую производную. Пусть длина дуги равна S, а ‑ угол между касательными в точках M и (см. рис. 2).