Определение 11.1. Пусть функция 
определена на промежутке 
, неограниченна на отрезке 
и интегрируема на любом отрезке 
, где t принадлежит 
. Тогда несобственным интегралом от неограниченной функции называется формальное выражение
.
Если существует предел
,
то несобственный интеграл называют сходящимся. Тогда полагают:
,
.
Если эти пределы не существуют или бесконечны, то интегралы называются расходящимися.
Пример 11.1. 
.
Конец примера.
Пример 11.2.
.
интеграл расходится.
Конец примера.
Пусть 
, тогда введя обозначения 
, получим
,
.
Таким образом, получаем формулы типа Ньютона ‑ Лейбница
, особенность при x = a.
, особенность при x = b.
Несобственный интеграл от неограниченной функции может быть сведен к несобственному интегралу с бесконечными пределами интегрирования. Действительно, пусть неограниченна в окрестности точки a, тогда сделаем замену 
.
Поэтому признаки сходимости могут быть построены совершенно аналогично:
Признак 11.1. Если 
на 
, то из сходимости интеграла 
следует сходимость 
, а значит и интеграла 
, причем 
. Из расходимости следует расходимость .
Замечание 11.1. Для неотрицательных функций 
из сходимости интеграла 
следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость .
Конец замечания.
Пример 11.3. 
. Следовательно, интеграл сходится.
Конец примера.
Признак 11.2. Если и 
неограниченны в окрестности 
, и если 
, то интегралы и сходятся или расходятся одновременно.
Пример 11.4. 
, 
, 
и
,
но 
, следовательно, интеграл сходится.
Конец примера.
Признак 11.3. Если 
, то несобственный интеграл сходится, если 
и расходится, если 
.
Доказательство. Выберем для сравнения вторую функцию 
. Тогда интеграл
.
сходится при и расходится при . Следовательно, доказываемый признак сходимости следует из признака 11.2.
Конец доказательства.
Пример 11.5.
.
Так как 
, то интеграл сходится.
Конец примера.
Вопрос 11.2. Несобственные интегралы от функции, имеющие несколько особенностей.
Пусть функция определена на и интегрируема на любом отрезке 
из интервала , тогда
.
Интеграл называется сходящимся, если оба предела конечны и расходящимся в противном случае. Аналогично, как в вопросе 11.1, можно вывести формулу типа Ньютона-Лейбница.
.
Пример 11.6.
Конец примера.
Пусть функция имеет особенности в точках 
из интервала . Тогда положим по определению
.
Если все интегралы сходятся, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае интеграл называется расходящимся.
Пример 11.7.
.
Конец примера.
