Рассмотрим степенную функцию 
, где m ‑ натуральное число. Разложим ее в окрестности 
по формуле Маклорена m -го порядка. Тогда получим
.
Согласно формуле Лагранжа остаточный член 
. Коэффициенты разложения называются биноминальными коэффициентами и обозначаются
, 
, 
,…, 
Тогда получим
.
Теперь несложно получить общую формулу бинома Ньютона
Пример 23.5.
Конец примера.
Биноминальные коэффициенты обладают следующими свойствами:
, 
, 
, 
.
Биномиальные коэффициенты можно легко определить из треугольника Паскаля, который строится на основе последней формулы
Например, коэффициенты 4-й строки получаются так:
.
ЛЕКЦИЯ № 24. ЭКСТРЕМУМЫ И ТОЧКИ ПЕРЕГИБА ФУНКЦИИ.
Вопрос 24. 1. Необходимые и достаточные условия существования локального экстремума функции.
Теорема 24.1. (Необходимое условие существования локального экстремума функции). Пусть функция 
точке a имеет локальный экстремум. Тогда или 
, или 
не существует.
Доказательство. Если существует, то в силу теоремы Ферма (в точке локального экстремума производная дифференцируемой функции равна нулю). Остается еще одна возможность, что не существует.
Конец доказательства.
Пример 24.1. 
, ‑ точка локального минимума, 
. 
‑ точка локального минимума, 
не существует.
Конец примера.
Определение 24.1. Те точки функции , в которых 
, называются стационарными.
Определение 24.2. Те точки функции , в которых или 
не существует, называются критическими точками первого рода.
Из теоремы 24.1 следует, что точки локального экстремума нужно искать среди критических точек 1-го рода, однако не всякая критическая точка 1-го рода является точкой локального экстремума, например у функции 
, 
, стационарная точка не является точкой локального экстремума.
Теорема 24.2. (Достаточные условия существования локального экстремума функции). Пусть непрерывна в некоторой окрестности точки a, и дифференцируема в этой окрестности, за исключением может быть самой точки a. Тогда
1) если при переходе через точку a знак не изменяется, то в точке a экстремума нет.
2) если при переходе через точку a знак производной изменяется на противоположный, то a ‑ точка локального экстремума, причем, если знак меняется с «‑» на «+», то a ‑ точка локального максимума, если знак меняется с «+» на «‑», то a ‑ точка локального минимума.
Доказательство. 1) Докажем первую часть теоремы. Пусть для определенности знак производной положителен 
и не меняется при переходе через точку a. Тогда, применяя теорему Лагранжа, получим
, т.е. 
,
, т.е. 
,
и, следовательно, a не является точкой локального экстремума. Пусть теперь знак производной отрицателелен 
и не меняется при переходе через точку a. Тогда, опять применяя теорему Лагранжа, получим
, т.е. ,
, т.е. ,
откуда следует, что a не является точкой локального экстремума и в этом случае.
Докажем вторую часть теоремы. Пусть для определенности знак производной меняется с «‑» на «+» при переходе через точку a. Тогда, применяя теорему Лагранжа, получим
, т.е. ,
, т.е. ,
и, следовательно, a есть точка локального минимума. Аналогично доказывается наличие локального максимума при изменении знака производной с «+» на «‑».
Конец доказательства.
Из этой теоремы вытекает правило знаков:
Пример 24.2.
1) , 
, , тогда критическая точка функции.
2) 
, критическая точка функции, поскольку производной не существует
Конец примера.
Теорема 24.3. (Второе достаточное условие существования локального экстремума функции). Пусть в точке a функция n раз дифференцируема и производные функции в плоть до 
‑го порядка равны нулю
,
а производная n ‑го порядка отлична от нуля 
. Тогда, если n – нечетное натуральное число, то в точке a экстремума нет. Если n ‑ четное натуральное число, то экстремум есть, причем, если
a) 
, то в точке a локальный максимум.
б) 
, то в точке a локальный минимум.
Доказательство. Разложим в окрестности точки a по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:
.
Так как все производные до порядка включительно равны 0, то
или
.
Если x близко к a, то знак выражения в квадратных скобках определяется n -й производной, поэтому, если n нечетно, то разность 
меняет свой знак одновременно с разностью 
, поэтому в точке a экстремума нет. Если n четно, то знак разности совпадает со знаком n -й производной и не завист от знака разности . Следовательно, при отрицательной производной получаем локальный максимум, при положительной производной ‑ локальный минимум.
Конец доказательства.
Пример 24.3. , в точке имеем 
, следовательно, x =0 не является точкой экстремума, так как первая отличная от нуля производная третьего, то есть нечетного, порядка.
Конец примера.
