Лекция № 15. Числовые последовательности

Вопрос 15.1. Подпоследовательности.

Определение 15.1. Пусть дана последовательность и возрастающая последовательность натуральных чисел

тогда последовательность называется подпоследовательностью последовательности .

Теорема 15.1. Если последовательность сходится, то сходится ее любая подпоследовательность, причем к тому же самому пределу.

Доказательство. Из сходимости последовательности следует, что для любого существует такое, что для всех выполняется неравенство , но тогда для всех .

Конец доказательства.

Пример 15.1. Пусть дана последовательность

Эта последовательность сходится

Выделим из нее подпоследовательность

Эта подпоследовательность, согласно теореме 15.1, должна сходится к нулю, что легко доказать непосредственно

.

Конец примера.

Лемма 15.1. (Принцип вложенных отрезков) Всякая бесконечная система вложенных отрезков содержит хотя бы одну общую точку.

Доказательство. Бесконечной системой вложенных отрезков называется система отрезков вида , где и монотонные последовательности, ограниченные сверху величиной , а снизу ‑ величиной . В силу этого существуют пределы:

,

причем для любого n справедливы неравенства .

Выбрав a, мы найдем искомую точку.

Конец доказательства.

Лемма 15.2. (Сравнительный признак сходимости) Пусть даны три вещественные последовательности, n -е члены которых связаны неравенствами . Если сходятся последовательности и то сходится и последовательность , причем

Доказательство. Из условия леммы следует неравенство . Тогда, из определения предела последовательности, следует, что для любого существует число , такое, что для всех справедливы неравенства

или

Тогда выполняется неравенство

Откуда

или

Конец доказательства.

Используем леммы 15.1 и 15.2 для доказательства теоремы 2.

Теорема 15.2. (Больцано ‑ Вейерштрасса) Всякая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.

Если последовательность ограничена, то все ее n -е члены удовлетворяют неравенству . Выберем любой член последовательности и разделим отрезок. Из двух полученных отрезков выберем тот, который содержит бесконечно много членов последовательности. Затем повторим процесс вновь и вновь, выбирая каждый раз перед делением отрезков произвольный член последовательности. В результате получим вложенную систему отрезков, длина которых стремится к нулю, и подпоследовательность, удовлетворяющую неравенствам

где ‑ выделенная подпоследовательность.

Из доказательства леммы 15.1 следует существование пределов

.

Так как длина вложенных отрезков стремится к нулю

то , а из леммы 15.2 следует, что сходится и подпоследовательность

Конец доказательства.

Определение 15.2. Числовая последовательность называется последовательностью Коши или фундаментальной, если для любого существует натуральное число такое, что для и любого натурального p справедливо неравенство для всех p =1,2,3,....

Теорема 15.3. Сходящаяся последовательность фундаментальна.

Доказательство. Если , то для любого существует такое, что для всех справедливо неравенство

.

Следовательно, для любого натурального p

откуда

Конец доказательства.

Теорема 15.4. (Критерий Коши) Если последовательность фундаментальна, то она сходится.

Доказательство. Доказательство теоремы проводится в два этапа. На первом этапе доказывается ограниченность фундаментальной последовательности. На втором этапе с помощью теоремы Больцано-Вейерштрасса устанавливается наличие сходящейся подпоследовательности и доказательство на этой основе сходимости самой последовательности.