Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


Ћекци€ є 20. ‘ункции одной переменной




¬опрос 20.1. ѕроизводна€ n -го пор€дка.

ќпределение 20.1. ѕусть дана функци€ . ѕроизводной n ‑го пор€дка от функции называетс€ производна€ от производной ‑го пор€дка .

ѕроизводна€ второго пор€дка обозначаетс€

или или

ѕроизводна€ третьего пор€дка обозначаетс€

или или

“очками пор€док производной прин€то указывать в теоретической механике. ѕроизводные более высоких пор€дков обозначают, указыва€ пор€док или арабскими или римскими числами

, или .

ѕример 20.1. ¬ычислить производную второго пор€дка от .

 онец примера.

ƒл€ производной n -го пор€дка справедливы формулы

1) ,

2) ,

3) ,

4) формула Ћейбница ,

где

‑ биномиальные коэффициенты, .

ѕример 20.2.

,

.

 онец прмера.

¬опрос 20.2. ƒифференциал n -го пор€дка.

ќпределение 20.2. ƒифференциалом n -го пор€дка называетс€ произведение и обозначаетс€

.

ƒифференциал n -го пор€дка обладает следующими свойствами:

1)

2)

3)

4)

5) формула Ћейбница ,

где

‑ биномиальные коэффициенты, .

ƒоказательство. —войства 1) ‑ 3) и 5) есть следстви€ соответствующих свойств n -й производной. ƒокажем теперь 4‑е свойство. ѕусть x ‑ независима€ переменна€. “огда

.

ƒалее, так как , то , и, следовательно, , поэтому . “огда последовательно получаем

,

то есть . јналогично

ѕродолжа€, получим

откуда следует

ѕример 20.3. ¬ычислить от .

 онец примера.

¬опрос 20.3. “еорема ‘ерма и –олл€.

ќпределение 20.2. “очка a называетс€ точкой локального минимума функции , если существует окрестность точки a, така€, что дл€ всех x из этой окрестности справедливо неравенство

ќпределение 20.3. “очка a называетс€ точкой локального максимума функции , если существует окрестность точки a, така€, что дл€ всех x из этой окрестности справедливо неравенство .

ќпределение 20.4. “очка а называетс€ точкой локального экстремума функции , если она €вл€етс€ или точкой локального минимума, или точкой локального максимума.

“еорема 20.2. (‘ерма). ≈сли в точке a имеет локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то (см. рис. 1) .

ƒоказательство. ѕусть a есть точка локального минимума. “огда дл€ достаточно малых h . ќдносторонние производные в точке a равны

ќтсюда следует равенство .

 онец доказательства.

“еорема 20.3. (–олл€). ѕусть и функци€ непрерывна на отрезке [ a,b ] и дифференцируема на интервале (a,b). “огда об€зательно найдетс€ точка c, така€, что a<c<b и .

–ис. 1.   доказательству теорем ‘ерма и –олл€.

ƒоказательство. »з непрерывности функции на отрезке следует существование точек и этого отрезка, в которых функци€ принимает максимальное и минимальное значени€ M и m (пусть дл€ определенности и ). ≈сли M=m, то и дл€ всех x из отрезка . ƒл€ этого случа€ теорема доказана. ≈сли , то или , или . “огда внутри отрезка существует точка локального экстремума c, в которой по теореме ‘ерма .

 онец доказательства.

“еорема 20.4 ( оши). ѕусть функции и непрерывны на отрезке [ a,b ] и дифференцируемы внутри этого отрезка. “огда существует точка c така€, что a<c<b и

ƒоказательство. ¬ведем вспомогательную функцию

,

тогда

“о есть . ѕримен€€ к функции теорему –олл€ (проверьте услови€ ее применимости), получим

.

ќткуда

или

 онец доказательства.






ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-11-05; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 680 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

≈сть только один способ избежать критики: ничего не делайте, ничего не говорите и будьте никем. © јристотель
==> читать все изречени€...

1412 - | 1368 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.012 с.