Вопрос 18.2. Производная функции и ее геометрический смысл

Определение 18.2. Производной функции в точке x называется предел

Производную функции обозначают так же через или . Последнее обозначение распространено в механике.

Определение 18.3. Правой производной функции в точке x называется правый предел

Определение 18.4. Левой производной функции в точке x называется левый предел

Теорема 18.1. Если в точке x существуют правая и левая производные функции и они равны между собой, то в этой точке существует производная функции, равная односторонним производным.

Теорема 18.2. Если в точке x существует производная функции, то существуют в этой точке и равные ей односторонние производные.

Доказательство этих теорем аналогично доказательству соответствующих теорем об односторонних пределах.

Геометрический смысл производной устанавливает следующая теорема (см. рис. 2)

Рис. 2. Геометрический смысл производной.

Теорема 18.3. Производная функции в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции, проведенной в этой точке.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Теорема 18.4. Если функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Вычислим предел

,

откуда

Конец доказательства.

Вопрос 18.3. Правила дифференцирования.

Если и две дифференцируемые в точке x функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) производная константы (функции, принимающей постоянные значения) равна нулю;

.

2) производная суммы двух функций и равна сумме их

3) производная разности двух функций и равна разности их

4) производная произведения двух функций и равна

5) производная отношения двух функций и равна

.

Докажите эти утверждения самостоятельно.

Вопрос 18.4. Дифференцируемость сложной и обратной функции.

Теорема 18.5. (Дифференцируемость сложной функции). Пусть функция определена на интервале I и принимает значения из интервала I', а функция определена на интервале I', тогда если дифференцируема в точке x из интервала I, а дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке x и

.

Доказательство. Согласно определению производной

Пусть , тогда получим , если и следовательно

или .

Конец доказательства.

Пример 18.2. Вычислить производную сложной функции .

.

Конец примера.

Теорема 18.6. (Дифференцируемость обратной функции). Пусть строго монотонная и непрерывная на интервале I функция, принимающая значения из интервала E. Тогда, если дифференцируема на I, то на интервале E существует дифференцируемая обратная функция , причем

.

Доказательство. Из условий теоремы следует существование и единственность обратной функции , определенной на интервале E.

Тогда

.

Обозначим через h разность , тогда, учитывая, что , получим , или . Отсюда, учитывая, что при , получим

Конец доказательства.

Пример 18.3.

Конец примера.