Вопрос 21.1. Теорема Лагранжа.
Теорема 21.1. (Теорема Лагранжа). Если 
непрерывна на отрезке 
и дифференцируема внутри отрезка, то найдется хотя бы одна точка c такая, что 
и
Эта формула носит название формулы конечных приращений Лагранжа (см. рис. 1).
Доказательство. Пусть 
, тогда функции и 
удовлетворяют условиям теоремы Коши. Применяя формулу Коши, получим
откуда следует формула Лагранжа
Конец доказательства.
Рис. 1. К доказательству теоремы Лагранжа.
Следствия из теоремы Лагранжа.
Следствие 21.1. Если 
для всех x из интервала 
, то 
на интервале .
Доказтельство. Возьмем две произвольные точки 
из интервала и применим формулу Лагранжа 
. Так как 
, то 
и, следовательно, 
. Таким образом, 
.
Конец доказательство.
Следствие 21.2. Пусть 
на интервале , тогда монотонно возрастает (убывает) на интервале .
Доказательство. Пусть 
на интервале , тогда для любых точек 
из этого интервала 
, то есть 
, если . Аналогично рассматривается случай 
.
Конец доказательства.
Следствие 21.3. Пусть 
на интервале , тогда монотонно не убывает (не возрастает) на этом интервале.
Доказательство аналогично доказательству следствия 21.2.
Следствие 21.4. Если 
на интервале , то для непрерывной на отрезке 
и дифференцируемой на функции справедливо неравенство 
.
Доказательство. По формуле Лагранжа 
. Тогда 
. Отсюда 
.
Конец доказательства.
Вопрос 21.2. Правила Лопиталя - Бернулли.
Теорема 21.2. Пусть и дифференцируемы на интервале и являются бесконечно малыми функциями в окрестности точки a. Если существует (конечный или бесконечный) предел 
, то существует и предел 
, причем оба предела равны.
Доказатедьство. Так как и бесконечно малые функции, то 
и 
. Переопределим функции в точке x=a, положив 
. Возьмем любую сходящуюся к a последовательность аргументов из отрезка [a,b] 
. Применяя к отрезку 
теорему Коши, получим
Так как 
, то последовательность 
сходится к a. Поэтому получим
Отсюда следует доказываемая теорема.
Конец доказательства.
Замечание. Теорема с соответствующими изменениями справедлива при 
.
Пример 21.1. 
.
Конец примера.
Теорема 21.3. Пусть и дифференцируемы на интервале и являются бесконечно большими функциями в окрестности точки a. Если существует (конечный или бесконечный) предел , то существует и предел , причем оба предела равны.
Замечание. Теорема с соответствующими изменениями справедлива при .
Пример 21.2.
Конец примера.
Замечание. Если для 
и 
выполняются условия одной из теорем, то правила Лопиталя-Бернулли можно применять дважды и более число раз
Пример 21.3.
Конец примера.
