Теорема Пеано утверждает, что остаточный член формулы Тейлора имеет n порядок малости, но не определяет величину остаточного члена. На этот вопрос отвечает теорема Лагранжа.
Теорема 22.2. Пусть функция 
имеет производную n‑ 1 ‑го порядка в окрестности точки a. Тогда справедлива формула Тейлора n‑ го порядка
с остаточным членом в форме Лагранжа
,
где c некоторое число, заключенное между a и x.
Доказательство. Пусть 
. Если , 
непрерывны на отрезке 
и дифференцируемы внутри отрезка, причем 
, то по теореме Коши
Положим 
, тогда по теореме Коши
Далее
Отсюда
Так как 
и 
, то, положив 
, получим
Конец доказательства.
Пример 22.1. Вычислить функцию 
при 
с точностью 
.
Разложим функцию по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа
где
Так как верно равенство 
, то
,
где
Так как справедливы неравенства 
, то для остаточного члена получаем оценку
откуда получаем
Тогда
с точностью .
Конец примера.
ЛЕКЦИЯ № 23. РАЗЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ ПО ФОРМУЛЕ ТЕЙЛОРА.
Волрос 23.1. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора.
Рассмотрим разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора в точке 
(формула Маклорена).
1) 
.
Разложение этой функции было получено в лекции № 22. Приведем его, поэтому, без пояснений
.
Здесь остаточный член в форме Лагранжа равен 
, где 
или 
.
2) 
.
Вычислим производные этой функции:
Отсюда получаем 
, тогда по формуле Маклорена найдем
,
где 
‑ остаточный член в форме Лагранжа. Для него можно получить оценку
.
Пример 23.1. Вычислить 
с точностью 
.
Оценим остаточный член
,
,
.
получим
.
Конец примера.
3) 
Вычислим производные этой функции:
Отсюда получаем 
, тогда по формуле Маклорена найдем
,
где 
‑ остаточный член в форме Лагранжа. Для него можно получить оценку
.
Пример 23.2. Вычислить 
с точностью 
.
Оценим остаточный член
,
,
,
.
получим
.
Конец примера.
4) 
Вычислим производные этой функции:
Отсюда получаем 
, тогда по формуле Маклорена найдем
где 
‑ остаточный член в форме Лагранжа. Для него можно получить оценку
.
Пример 23.3. Вычислить 
с точностью .
. Оценим остаточный член
,
.
получим 
.
Конец примера.
5) 
Вычислим производные этой функции:
Отсюда получаем 
, тогда по формуле Маклорена найдем
‑ остаточный член в форме Лагранжа. Для него можно получить оценку 
:
.
Пример 23.4. Вычислить 
с точностью .
Оценим остаточный член
Тогда получим 
.
Конец примера.
