Задачи механики и физики используют модели, элементами которых являются объекты, характеризуемые величиной действия в заданном направлении. Такими объектами являются силы, скорости, ускорения и др. Над этими объектами определены операции сложения по определенному закону и умножения на число. При этом как сами объекты, так и результаты операции над ними не зависят от параллельного переноса в пространстве. В качестве геометрической модели или знаковой системы для определения этих объектов удобно использовать направленные отрезки, которые имеют заданное направление и длину. Сформулируем нашу первую задачу.
А. Построить систему свойств (аксиоматику), достаточную для описания модели направленных отрезков с операциями сложения и умножения на число.
Решение сформулированной задачи состоит из двух частей: 1) в определении направленных отрезков, определении указанных операций, доказательстве основных свойств этих операций и 2) указании критерия, согласно которому проверяется, достаточно ли сформулированных свойств для описания модели.
Вначале определим операции и построим систему свойств (аксиом). Направленный отрезок 
есть отрезок AB заданной длины, направленный параллельно некоторой прямой «l», причем порядок пары точек означает, что точка А – начало, В – конец направленного отрезка.
Для простоты будем направленные отрезки обозначать также одной буквой = 
и т.д.
Так как направление и длина направленного отрезка не зависит от параллельного переноса, то направленный отрезок изображает класс направленных отрезков, совместимых с параллельными переносами. Этот факт будем называть инвариантностью направленного отрезка относительно параллельного переноса.
На множестве направленных отрезков , 
, 
,... определим операции сложения и умножения на действительное число и установим свойства этих операций.
Суммой направленных отрезков и назовем направленный отрезок = + , который имеет то же начало, что и и тот же конец, что и , если начало отрезка параллельным переносом совместить с концом (рис 11, а).
Учитывая инвариантность направленного отрезка относительно параллельного переноса, заключаем, что является направленной диагональю параллелограмма, построенного на сторонах и (рис. 4, b). Правило сложения (а) называется правилом треугольника, а правило сложения (b) – правилом параллелограмма.
Сложение обладает свойствами:
" и + = +
" , и ( + )+ = +( + )
Существует вектор 
такой, что " + = ( – нулевой вектор)
" $ «– » такой, что +(– )= .
(«– » называется противоположенным вектору ).
Свойства 1 и 2 схематично представлены на рис 12, а и 12, b, соответственно.
Свойство 3 представляет возможность вырождения в точку одного из слагаемых:
+ 
= , =
Свойство 4 представляет правило сложения
 |
+ 
= 
= ,
в котором естественно считать =– . Длину направленного отрезка будем обозначать | |. Очевидно, что | | = | |.
Операция умножения отрезка на число a определяет направленный отрезок =a . Длина | |= |a| | |; направление то же, что и у отрезка , если a>0, и обратное, если a<0.
Свойства операции умножения:
· " ·1= .
· " a, bÎ R и " a (b ) = (a b) .
· " aÎ R и " , a ( + ) = a + a .
· " a, bÎ R и " (a+b) = a + b .
Доказательство восьми свойств сложения и умножения на число направленных отрезков можно найти в школьных учебниках, и мы их опускаем.
Теперь сформулируем понятие вектора.
Определение
Направленные отрезки с операциями сложения по правилу треугольника (параллелограмма) и умножения на число называются векторами.
В силу инвариантности направленных отрезков относительно параллельного переноса заключаем, что: 1) вектор – это класс направленных отрезков, определяемый всеми параллельными переносами любого из его представителей; 2) свойства операций сложения векторов и умножения на число также инвариантны относительно параллельного переноса.
Множество всех векторов назовем векторным пространством, а построенную модель направленных отрезков – геометрической моделью векторного пространства.
Первая часть сформулированной задачи A нами решена. Для решения второй части этой задачи построим арифметическую (координатную) модель векторного пространства.
