Конструктивное построение множества действительных чисел можно представить в виде схемы 3.
 |
Непрерывными операциями мы называем вычислительные алгоритмы, состоящие из арифметических и других простых операций, пронумерованных натуральным рядом. Описание непрерывных операций потребует разработки вспомогательных понятий. Избежать такой дополнительной работы можно аксиоматическим заданием множества действительных чисел.
Добавим к аксиомам, определяющим в п. З. множество рациональных чисел Q, еще одну.
Аксиома непрерывности Кантора.
16. Пусть элементы x 
, x 
,…, x 
,…, y , y ,…, y ,… удовлетворяют условию x < x <…< x <…< y <… y < y и пусть для любого положительного элемента e>0, начиная с некоторого номера n, выполняются условия y 
– x < e, k = n, n +1, …. Тогда существует элемент Z такой, что при всех значениях n выполняется x < Z < y .
То, что элемент Z, о котором говорится в этой аксиоме, является единственным, несложно доказать от противного.
Определение 2
Множество R называется множеством действительных чисел, а его элементы действительными числами, если они удовлетворяют всем тем же аксиомам 1–15, что и рациональные числа и, дополнительно, аксиоме непрерывности Кантора.
О представлении действительных чисел
Мы видели, что формирование аксиоматик множеств натуральных рациональных и действительных чисел связано с выполнением определенных операций над числами. Система записи или представления чисел связана и с другими задачами.
Задача 1
Построить символьную запись числа, в которой эффективно реализуются алгоритмы арифметических и алгебраических операций. Мы уже отмечали, что наиболее подходящей для этой цели является систематическая запись числа (десятичная, двоичная и др.)
Задача 2
Построить представление чисел, в котором иррациональные числа приближаются рациональными числами наилучшим образом. Рациональная дробь p / q приближает иррациональное число a наилучшим образом, если для любого рационального числа m / n с n £ q выполняется равенство |a– p / q | < |a– m / n |.
Рассмотрим десятичные приближения. Пусть m = a 
, a , …, a – десятичное приближение с “ k ” знаками после запятой числа a = a , a , …, a , a 
,…. Тогда погрешность этого приближения определяется разностью
|a– m / n | = a /10 
+ a 
/10 
+…<9/10 (1+1/10+…) = 9/10 ´
1/(1–1/10) = 1/10 
~1/ n.
Для лучших приближений используется представление иррационального числа цепной дробью [6]. Если p / q – конечная цепная дробь, приближающая число a, то ([6, с. 46]), |a– p / q | < 1/ q 
.
Таким образом, представление числа цепной дробью «более экономично», чем представление десятичной дробью.
Напомним, что до сих пор не найдены эффективные алгоритмы арифметических операций для представлений чисел в виде цепных дробей, ([6, с. 29–30]).
